备战2023年中考数学 四边形中等腰模型（30种解法）

四边形中等腰模型 东方岳（原创） 【题目】如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝105°， ∠B＝∠D＝45°. 求证：CD＝AB. 图5-138 点拨：通过构造等腰直角三角形，导角证三角形全等，从而得出结论.类似解法如下： 解法3：绕点D向下旋转 如图，过点D作DE⊥CD交BA的延长线于E，在AD上取一点F，使EF＝EA 则△ADE≌△ADC（ASA） ∴AC＝AE＝EF，DE＝CD 又，∠EFD＝180°－∠EFA＝180°－∠EAC＝180°－∠DAC＝105°＝∠ACB 显然，△DEF≌△BAC ∴CD＝DE＝AB 图5-139 解法4：绕点A向上旋转 如图，过点A作AE⊥AB交BC的延长线于E， 则∠E＝∠B＝∠D＝45°，AB＝AE 又，∠ACE＝∠CAD＝75°，AC＝CA ∴△ACD≌CAE（AAS） ∴CD＝AE＝AB 图5-140 解法5：绕点B向下旋转 如图，过B作EB⊥AB，使BE＝AB，连接AE，在AE上取一点F，使AF＝BC 则△ABE为等腰直角三角形 ∴∠E＝∠BAE＝∠ABC＝45° ∴AF//BC，又AF＝BC ∴四边形AFBC为平行四边形 ∴AC＝BF 又，∠DAC＝∠EBF＝75°，∠D＝∠E＝45° ∴△ACD≌BFE（AAS） ∴CD＝BE＝AB 图5-141 解法6：构造双等腰直角三角形 如图，过点A作AF⊥BC于F，过点C作CE⊥AD于E， 则△ABF、△CDE为等腰直角三角形 又，∠CAE＝∠CAF＝75° 显然，△CAE≌△ACF（AAS） ∴CE＝CF 易证，△ABF≌△CDE ∴CD＝AB 图5-142 解法7：构造双等腰直角三角形 如图，过点A作AF⊥CD于F，过点C作CE⊥AB于E， 则△AFC≌AEC ∴CF＝CE＝BE，DF＝AF＝AE， ∴CD＝DF＋CF＝AE＋BE＝AB 图5-143 解法8：构造平行四边形 过点C作CE//AD交AB于E，过点E作EF//CD交AD于F， 则四边形DFEC为平行四边形 ∴EF＝CD，∠AFE＝∠D＝∠B＝45° 又，∠ACE＝∠DAC＝75°＝∠AEC ∴AE＝AC，又，∠FAE＝∠BCA＝105° ∴△AEF≌△CAB（AAS） ∴CD＝EF＝AB 图5-144 点拨：构造平行四边形，转移线段，证三角形全等，从而得出结论. 解法9：构造三角形全等 如图，延长BC至E，使AE＝AC，连接AE， 则∠E＝∠ACE＝75°＝∠CAD 又，∠B＝∠D＝45° ∴△ABE≌△CDA（AAS） ∴AB＝CD 图5-145 点拨：通过构造全等三角形，直接得出结论. 解法10：对称翻折 如图，设点D关于AC的对称点为点E，连接AE，连接CE交AB于F， 则∠BCE＝∠ACB－∠ACE＝∠ACB－∠ACD＝45° ∴CE⊥AB ∴△AFE、△BFC为等腰直角三角形 ∴CD＝CE＝EF＋CF＝AF＋BF＝AB 图5-146 点拨：通过对称，构造三角形全等，利用等腰直角三角形性质，从而得出结论.类似解法如下： 解法11： 如图，设点B关于AC的对称点为点E，连接AE交CD于F， 则，AB＝AE＝AF+EF＝DF+CF＝CD 图5-147 解法12：构造四点共圆 如图，以AC为直角边构造等腰Rt△ACE，∠ACE＝90°，连接DE、AE、CE 则∠AEC＝∠ADC＝45°，AC＝CE ∴A、C、E、D四点共圆 ∴∠CDE＝∠EAC＝∠B＝45°，∠DEC＝180°－∠DAC＝105°＝∠BCA ∴△ABC≌△CDE（AAS） ∴CD＝AB 图5-148 点拨：共圆法，构造四点共圆，导角证三角形全等，从而得出结论.构造四点圆，方法很多，如翻折、平四、构造等腰直角三角形等，类似解法如下： 解法13：如图，以AB为构造等腰Rt△ABE，∠EAB＝90°， 则∠E＝∠B＝∠D＝45° ∴点A、C、E、D四点共圆 又，∠DAC＝∠ACE＝75° CD＝AE＝AB（角相等　弦相等） 图5-149 解法14：如图，设点B关于AC的对称点为点E，连接CE、AE、DE 则AE＝AB，∠AEC＝∠B＝∠D ∴点A、C、E、D四点共圆 ∴∠DEC＝180°－∠DAC＝105°＝∠ACB＝∠ACE ∴CD＝AE＝AB 图5-150 解法15： 如图，设点D关于AC的对称点为E，连接AE、CE、BE， 则∠AEC＝∠D＝∠ABC＝45° ∴点A、E、B、C四点共圆 ∴∠CB