考点16 等比数列6种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高二数学题型归纳与解题策略(人教A版2019选择性必修第二册)

考点16 等比数列6种常见考法归类 1、等比数列基本量运算的解题策略 （1）等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)，通过列方程(组)便可迎刃而解； （2）运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． (3)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体． (4)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝，当q>1时，用公式Sn＝(qn－1)代入计算，当q<1时，用公式Sn＝(1－qn)代入计算，可避免出现符号错误． （5）特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为. 这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便. 2、等比中项要注意的问题 两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方. 3、等比数列的证明方法 定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列 中项 公式法 若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列 通项 公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列 前n项和 公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列 4、等比数列项的性质应用 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． (2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．　 5、判断等比数列的单调性的方法 (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列． (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列． (3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列． 6、处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算． (2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． 7、处理等比数列奇偶项和有关问题的常用方法 等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． 考点一 等比数列基本量的运算 1．（2022秋·河北邢台·高二统考阶段练习）在等比数列中，若，，则___________. 2．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）在等比数列中，，，则______. 3．（2023秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知等比数列的前项和是，且，则（    ） A．24 B．28 C．30 D．32 4．（2023秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（    ） A．1 B． C． D． 5．（广东省佛山市2023届高三教学质量检测（一）数学试题）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（    ） A．30 B．10 C．9 D．6 6．（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64，则这个等比数列的公比是（    ） A．2或 B．2或 C．或 D．或 7．（2023秋·浙江衢州·高二浙江省龙游中学校联考期末）等比数列中，，，记为数列的前项积，则的最大值是（    ） A．256 B．512 C．1024 D．2048 考点二 等比数列的性质及其应用 （1） 等比中项的应用 8．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）若，，均为实数，试从①；②；③中选出“，，成等比数列”的必要条件的序号______. 9．（2023秋·河北唐山·高三统考期末）已知是正项等比数列中的连续三项，则公比__________. 10