6.2 第四课时 组合与组合数的应用(Word教参)-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第四课时　组合与组合数的应用 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题． 2.能解决有限制条件的组合问题． 重点难点 重点：应用组合知识解决有关组合的简单实际问题． 难点：应用组合知识解决实际问题时做到不重不漏. ———————————————————————————————————— 有限制条件的组合问题 ———————————————————————————————————————— [典例]　(1)从5名男生和4名女生中选出3名学生参加某次会议，则至少有1名女生参加的情况有______种． (2)学校邀请了4位学生的父母共8人，并请这8位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中至多有一对夫妻，那么不同的选择方法有______种． [解析]　(1)法一：直接法．第一类，从5名男生中选出2名男生，从4名女生中选出1名女生，有CC＝40种选法；第二类，从5名男生中选出1名男生，从4名女生中选出2名女生，有CC＝30种选法；第三类，从4名女生中选出3名女生，有C＝4种选法．根据分类加法计数原理知，共有74种选法． 法二：间接法．从所有的9名学生中选出3名，有C种选法，其中全为男生的有C种选法．所以选出3名学生，至少有1名女生的选法有C－C＝74种． (2)法一：直接法.4位作介绍的家长可分两类． 第一类，4位作介绍的家长中任何两个人都不是夫妻，即4位作介绍的家长来自4个家庭，每个家庭是父亲作介绍还是母亲作介绍都有两种情况，所以其选择方法有24＝16种；第二类，4位作介绍的家长中仅有一对夫妻，即4位作介绍的家长中有2位为一个家庭的父亲和母亲，其选法有C种，另2位家长从另三个家庭中的两个家庭中选，其选法有C种，并且被选中的家庭是父亲作介绍还是母亲作介绍都有两种情况，其选法有22种．根据分步乘法计数原理知，作介绍的家长的选法有C·C×22＝48种．根据分类加法计数原理知，满足题意的选法有16＋48＝64种． 法二：间接法．从8位家长中选出4位家长有C种选法，其中这四位家长仅来自2个家庭不符合条件，其选法有C种，所以满足题意的选法有C－C＝64种． [答案]　(1)74　(2)64 有限制条件的组合问题分类及解题策略 有限制条件的抽(选)取问题， 主要有两类： 一是“含”与“不含”问题， 其解法常用直接分步法， 即“含”的先取出，“不含”的可把所指对象去掉再取， 分步计数； 二是“至多”“至少”问题， 其解法常有两种解决思路：一是直接分类法， 但要注意分类要不重不漏；二是间接法， 注意找准对立面， 确保不重不漏．　　 [对点训练] 有4个不同的球， 4个不同的盒子， 把球全部放入盒内． (1)恰有1个空盒，有几种放法？ (2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？ 解：(1)先从4个小球中取2个放在一起，有C种不同的取法，再把取出的2个小球与另外2个小球看成三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A种放法，根据分步乘法计数原理，共有CA＝144种不同的放法． (2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中．有两类放法： 第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C种，再放到2个盒子中有A种放法，共有CA种放法； 第二类，2个盒子中各放2个小球有CC种放法． 故恰有2个盒子不放球的方法有CA＋CC＝84种． ———————————————————————————————————— 与几何有关的组合应用题 ———————————————————————————————————————— [典例]　(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？ (2)四面体的顶点和各棱的中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？ [解]　(1)如图所示，在含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中任意取出3个点必与点A共面，共有3C种取法； 在含顶点A的3条棱上各有3个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法． 根据分类加法计数原理，与顶点A共面的3个点的取法有3C＋3＝33种． (2)从10个点中取4个点的取法有C种，减去4点共面的取法种数就可以得到结果． 从四面体同一个面上的6个点中取出4点必定共面，有4C＝60种； 四面体的每一条棱上的3个点与相对的棱的中点共面，共有6种共面情况； 从6条棱的6个中点中取4个点时有3种共面情况(对棱中点连线两两相交且互相平分)． 故4点不共面的取法有C－(60＋6＋3)＝141种． 解答几何组合问题的策略 (1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合．