6.2 第三课时 组合与组合数(Word教参)-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第三课时　组合与组合数 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过实例理解组合的概念． 2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题． 重点 难点 重点：组合数的概念，用排列与组合知识解决简单的问题． 难点：建立组合与排列的联系以及两者之间的区别. (一)组合的概念 1．组合的概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合与排列的区别与联系 排列与组合两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关．只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的． (1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． (2)组合的特性：元素的无序性．取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求． (3)相同的组合和不同的组合：只要两个组合的元素完全相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合；如果两个组合的元素不完全相同，那么这两个组合就是不同的组合． 1．(多选)下面四组元素，是相同组合的是(　 ) A．a，b，c—b，c，a B．a，b，c—a，c，b C．a，c，d—d，a，c D．a，b，c—a，b，d 解析：选ABC　根据同一组合的概念，可知选项D中，a，b，c中有c，没有d，但是a，b，d中有d，无c，故选项D不是相同组合；A、B、C选项满足同一组合的概念． 2．下列问题中，组合问题有________，排列问题有________．(填序号) ①从1,3,5,9中任取两个数相加，所得不同的和； ②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数； ③从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动． 解析：对于①，两个数的和与顺序无关，故是组合问题；对于②，两点为端点的线段与顺序无关，故是组合问题；对于③，选出的同学参加不同的活动，与顺序有关，故是排列问题． 答案：①②　③ (二)组合数 1．组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号C表示，组合数还可以用符号()表示． 组合与组合数 “组合”与“组合数”是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素作为一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3. 2．组合数公式 (1)组合数公式：C＝＝＝(n，m∈N*，m≤n)． (2)规定：C＝1. 3．组合数公式的性质 (1)性质1：C＝. (2)性质2：C＝C＋. 1．甲、乙、丙三人值班，从周一到周六按每人分别值班2天排班，若甲不在周一值班，则不同的排班方案有(　 ) A．15种 B．30种 C．45种 D．60种 解析：选D　甲从周二至周六5天中选2天值班，有C种选法；乙可从剩下的4天中任选2天值班，有C种选法；丙选剩下的2天即可，有C种选法．故不同的排班方案共有CCC＝60种． 2．若A＝18C，则m等于(　 ) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：选D　由A＝m(m－1)(m－2)(m－3)＝18·，得m－3＝3，m＝6. ———————————————————————————————————— 组合概念的理解 ———————————————————————————————————————— [典例]　(多选)下列问题是组合问题的是(　 ) A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有2 015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段 C．集合{a1，a2，a3，…，an}含有三个元素的子集有多少个 D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 [解析]　A．10个朋友聚会，每两人握手一次，与次序无关，故是组合问题； B．平面上有2 015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点，与次序无关，故是组合问题； C．集合{a1，a2，a3，…，an}含有三个元素的子集，与次序无关，故是组合问题； D．选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱节目、乙参加独舞节目”与“乙参加独唱节目、甲参加独舞节目”是两个不同的选法，与次序有关，因此是排列问题，不是组合问题． [答案]　ABC 区分排列与组合的方法 区分排列与组合的方法是首先弄清楚事件是什么，区