4.4数学归纳法 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 4.4 数学归纳法 授课老师 学习目标 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的命题. 新课探究 【探究】已知数列{an}满足a1=1,(n∈N*), 证明(n∈N*) ① 【证明】:(1)当时,由已知,,①式成立 (2)当时,假设,①式成立,即 根据递推公式(n∈N*),有 即当时,①式也成立 由(1)、(2)可知,①式对任意n∈N*都成立 方法总结 由此发现一个证明与正整数n有关的命题方法,可按照如下两个步骤进行: (1)证明时,命题成立 (2)假设时命题成立, 证明时,命题也成立。 综上得,命题对任意n∈N*都成立 新课引入 1.数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当 时命题成立; (2)(归纳递推)以当“ (k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当 时命题也成立”. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法. n=k n=k+1 n=n0(n0∈N*) n0 新课引入 2.数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下: 条件:(1) 为真;(2)若 为真,则 也为真. 结论: 为真. 3. 数学归纳法中的两个步骤 在数学归纳法的两步中,第一步验证(或证明)了当 时结论成立,即命题 ;第二步是证明一种 关系,实际上是要证明一个新命题: .只要将这两步交替使用,就有 真, 真…… 真, 真……,从而完成证明. P(n0) P(k) P(k+1) P(n) n=n0 P(n0)为真 递推 若P(k)为真,则P(k+1)也为真 P(n0) P(n0+1) P(k) P(k+1) 新课引入 例1:有用数学归纳法证明: (n∈N*) 【证明】:(1)当时,由已知原式左边=1 原式右边,所以原式成立 (2)假设当,等式成立 即 两边同时加上,有 新课引入 【证明】:(1)当时,由已知原式左边=1 原式右边,所以原式成立 (2)假设当,等式成立 即 两边同时加上,有 , 当时,等式也成立 由(1)、(2)可知,原等式对任意n∈N*都成立 方法总结 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构,即: (1)n=n0时,等式的结构. (2)n=k到n=k+1时,两个式子的结构:n=k+1时的代数式比n=k时的代数式增加(或减少)的项. 例题解析 例2:求证:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1) (n∈N*). 【证明】 (1)当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-3,等式成立. (2)假设当n=k时,等式成立, 即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1). 当n=k+1时, 12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2 =-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3) =-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1], 所以n=k+1时,等式也成立. 由(1)、(2)可知,等式对任何n∈N*都成立. 例题解析 例3:求证: 【证明】:(1)当时,原式左边,原不等式成立 (2)假设当,原不等式成立 即 那么 ,当,原不等式成立 由(1)、(2)可知,原不等式对任何n∈N*都成立. 【注意】数学归纳法中的起始值不一定是1 方法总结 用数学归纳法证明不等式的四个关键 (1)验证第一个n的值时,要注意n0不一定为1,若n>k(k为正整数),则n0=k+1. (2)证明不等式的第二步中,从n=k到n=k+1的推导过程中,一定要用归纳假设,不应用归纳假设的证明不是数学归纳法,因为缺少归纳假设. 方法总结 (3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式:一是直接给出不等式,按要求进行证明;二是给出两个式子,按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从某个k值开始都成立的结论,常用数学归纳法证明. (4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时成立,得n=k+1时成立,主要方法有比较法、放缩法等. 例题解析 例3:在数列{an}中,,,且,求,猜想的表达式,并加以证明 【解】:,且 ,,猜想 下面用数学归纳法证明猜想正确 (1)当,时,易得猜想正确 (2)假设当时猜想正确,即 例题解析 【解】:,且 ,,猜想 下面用数学归纳法证明猜想正确 (1)当,时,易得猜想正确 (2)假设当时猜想正确,即 当时, 时猜想也成立 由(1)、(2)可知,猜想对任何n∈N*都成立. 课堂小结 1.知识清单: (1)