专题6.3 平面向量基本定理及坐标表示 -【满分计划】2022-2023学年高一数学阶段性复习精选精练（人教A版2019必修第二册）

专题6.3 平面向量基本定理及坐标表示 1、平面向量基底的概念 如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，，使得．我们把不共线的向量、叫做表示这个平面内所有向量的一组基底． 2、平面向量基本定理的应用 （1）平面向量基本定理唯一性的应用： 设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 （2）重要结论：设{e1，e2}是平面内一个基底，若， ①当时，与共线； ②当时，与共线； ②当时，； 二、平面向量的正交分解及坐标表示 1、平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解． 2、平面向量的坐标表示 （1）正交基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底． （2）平面向量坐标表示：对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标． 三、向量与坐标的关系 设＝xi＋yi，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y)．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 四、平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算 运算法则 加法运算 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2） 减法运算 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a–b=（x1–x2，y1–y2） 数乘运算 已知a=（x1，y1），则λa=（λx1，λy1），其中λ是实数． 向量坐标的求法 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则 =（x2–x1，y2–y1）． 五、平面向量数量积的几何与坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) 六、常用知识 1、已知P为线段AB的中点，若A（x1，y1）,B（x2，y2），则P点的坐标为 2、已知△ABC的顶点A（x1，y1）,B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的重心G的坐标为 一、单选题 1．已知向量的夹角的余弦值为，，，则（   ） A．-4 B．-1 C．1 D．4 【答案】C 【分析】可由题意设出，，由，根据向量垂直的性质得，再由向量的夹角的余弦值为，可解得，再代入求解即可. 【详解】由题意不妨设，， 则，， 由，可得，即， 又由，解得， 所以. 故选：C. 2．若向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量在向量上的投影，再乘以向量同向的单位向量即可得． 【详解】，，， 向量在向量上的投影为，与量同向的单位向量为， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：C． 3．已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，点D在线段BC上，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据确定，从而可得，从而用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】设等腰△ABC在边上的高为， 因为，所以， 所以,所以， 所以 . 故选:B. 4．已知向量满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的坐标表示求，然后根据向量的平方等于模长的平方和数量积的运算律求解即可. 【详解】由可得， 因为，解得， 所以， 又因为， 所以与的夹角为， 故选：D 5．在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线所在直线方程为，设，得到，利用二次函数的性质即可求出其值域. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系， 则，直线所在直线方程为， 设，，则，， ， 当时，，当时，， 故其取值范围为， 故选：B. 6．在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，若（，为实数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该三角形的内切圆的半径为，CA边上的高为 ，由，得到，再利用平行线等比关系求解. 【详解】解：在中，，，， 设该三角形的内切圆的半径为， 则 ，解得 ， 设CA边上的高为 ， 则 ，解得 ， 因为 ， 所以， 因为点在该三角形的内切圆上运动， 所以， 设，则 ， 因为， 则，且三点共线，在上， 由平行线等比关系得：要使，即与之间的比例最小，则点P内切圆的最高点，如