专题9.10以乘法公式为背景综合问题大题专练（重难点培优30题，七下苏科）-【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】

【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】 专题9.10以乘法公式为背景综合问题大题专练（重难点培优30题） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一．解答题（共30小题） 1．（2022春•盱眙县期中）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式； （2）解决问题：如果a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值； （3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积． 2．（2022秋•镇江期中）现有3张卡片，它们可以拼成一个大的长方形（如图1）． （1）你还能用三张卡片拼成其他的四边形吗？请画出草图； （2）小明写出图1中大的长方形的周长为2（a+b）+2b，小红写出大长方形的周长为2（a+2b）+2（b+a）﹣2a﹣2b，两位同学写的算式结果一样吗？为什么？ （3）如图2，有四张边长分别为a，b，c的直角三角形纸片，将它们拼成一个大的空心的正方形，利用这个大正方形解决问题：①请根据（2）中蕴含的思想方法写出一个关于a，b，c的等式；②已知小直角三角形纸片的面积为6，两条直角边之和为7，求中间小正方形的边长． 3．（2022春•玄武区校级期中）如图①，有边长为a与边长为b的两种正方形纸片． （1）将两种正方形纸片各一张如图②放置，其未叠合部分（阴影）面积为S1，若再在图②中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图③），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． ①用含a，b的代数式分别表示S1＝　 　，S2＝　 　． ②若a+b＝10，ab＝15，求S1+S2的值； （2）将两种正方形纸片各一张按图④的方式放置在一个边长为m的正方形桌面上（a+b＞m），若两个正方形叠合部分（阴影）的面积为S3，桌面上未被这两张正方形纸片覆盖部分（点状阴影）的面积为S4，求S3﹣S4（结果用含a，b，m的代数式表示）． 4．（2022春•工业园区校级期中）如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）． （1）根据上述过程，写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系：　 　； （2）利用（1）中的结论，若x+y＝4，，则（x﹣y）2的值是 　 　； （3）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式：　 　； （4）两个正方形ABCD，AEFG如图④摆放，边长分别为x，y．若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分面积和． 5．（2022春•常州期中）如图，将边长为a+3的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题： （1）分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）； （2）若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值． 6．（2022春•钟楼区期中）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法． （1）在学习乘法公式时，我们通过对图1的面积“算两次”得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．请设计一个图形说明（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立；（画出示意图，并标上字母） （2）如图2，两个直角边长分别为a、b、斜边长为c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．试用两种不同的方法计算梯形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c有什么数量关系吗？（注：写出解答过程） （3）根据（2）中的结论回答，当a＝4，b＝3时，c的值为 　 　． 7．（2022春•相城区校级期中）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（x﹣5）2+（2﹣x）2的值． 解：设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3， 所以（x﹣5）2+（2﹣x）2＝（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5． 请仿照上