专题14 三角形中的几何计算-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

专题14 三角形中的几何计算 一、相关的知识点 三角形的面积公式 (1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高)． (2)S＝absin C＝bcsin A＝acsinB，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长． 题型一 与三角形面积有关的计算问题 1．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为 解析： S△ABC＝AB·ACsin A＝×1×2×＝. 2．在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC的面积为 解析：由＝，知sin C＝1，则C＝90°，所以B＝60°， 从而S△ABC＝AB·BC·sin B＝. 3．在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积等于 解析：在△ABC中，由正弦定理，得＝，所以AC＝＝＝6. 又因为C＝180°－120°－30°＝30°，所以S△ABC＝×6×6×＝9. 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于 解析：在△ABC中，由余弦定理可得64＝49＋9－2×7×3cos C， 所以cos C＝－，所以sin C＝，所以S△ABC＝absin C＝6 5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知c＝2，C＝，且S△ABC＝，则a＝_______，b＝_______．　 解析：由余弦定理，得a2＋b2－ab＝4，又△ABC的面积等于，所以absin C＝，得ab＝4， 联立方程组，解得a＝2，b＝2. 6．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A＝ 解析：由S△ABC＝bcsin A＝，得sin A＝，sin A＝， 由0°<A<180°，知A＝60°或A＝120°. 7．在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为，则边a的值为________． 解析：由S△ABC＝bcsin A＝csin 60°＝，得c＝4， 因为a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋16－8cos 60°＝13，所以a＝. 8．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于 解析：连接BD，在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°. 在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12， 所以BD＝2，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5. 9．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为 解析：因为S△ABC＝AB·ACsin A，所以×2·ACsin 60°＝.所以AC＝1. 又BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋1－2×2cos 60°＝3.所以BC＝. 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，△ABC的面积为 解析：△ABC的面积为absin C＝×4×3×＝3. 11．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为 解析：由cos 2A＝sin A，得1－2sin2 A＝sin A，解得sin A＝或sin A＝－1(舍去)， 所以S△ABC＝bcsin A＝×2×＝. 12．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝，cos A＝，则△ABC的面积等于 解析：因为b2－bc－2c2＝0，所以(b－2c)(b＋c)＝0，所以b＝2c. 由a2＝b2＋c2－2bccos A，解得c＝2，b＝4，因为cos A＝，所以sin A＝， 所以S△ABC＝bcsin A＝×4×2×＝. 13．已知△ABC的周长为20，面积为10，A＝60°，则BC边的长为 解析：由题设a＋b＋c＝20，bcsin 60°＝10，所以bc＝40. a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.所以a＝7.即BC边的长为7. 14．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝，则△ABC外接圆的半径为 解析：因为S＝bcsin A，所以＝×2csin 120°，所以c＝2， 所以a＝＝＝2， 设△ABC外接圆的半径为R，所以2R＝＝＝4，所以R＝