精品解析：广东省揭阳市普宁国贤学校2023届高三下学期开学第2次考试数学试题

2022-2023学年第一学期期末考试 高三数学试卷（第2次连考） 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A 2 B. C. 1 D. 3. 已知曲线的方程为（），若曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或5 D. 4. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为斤，设，则（ ） A. B. 7 C. 13 D. 26 5. 如图，所有棱长都等于的三棱柱的所有顶点都在球上，球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 给出以下四个命题： ①在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好； ②回归模型中离差是实际值与估计值的差，离差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高； ③在一组样本数据（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为； ④对分类变量与的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握程度越大. 其中，真命题的个数为（ ） A. B. C. D. 7. 现有5张卡片，其中有2张印有“立”字，其余3张分别印有“德”、“树”、“人”．将这5张卡片随机排成一行，则恰有连续4张卡片从左往右依次为“立”、“德”、“树”、“人”概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥底面圆半径为，圆锥内部放有半径为1的球，球与圆锥的侧面和底面都相切，若，则圆锥体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列推理正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若a，，则 10. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（ ） A. 为递减数列 B. C. 是数列中的最大项 D. 11. 如图，、是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是、在第一象限的公共点，设的方程为，则下列命题中正确的是（ ） A B. 的内切圆与轴相切于点 C. 若，则的离心率为 D. 若，则椭圆方程为 12. 定义在上的函数满足：，，则下列说法正确的是（ ）． A. 在处取得极小值，极小值为 B. 只有一个零点 C. 若上恒成立，则 D. 三、填空题 13. 已知平面向量满足，则__________． 14. 直线与圆相交于两点，且．若，则直线的斜率为_________． 15. 在中， 内角的对边分别为，且满足，则的取值范围____________ 16. 若存在直线与曲线，都相切，则的范围是__________. 四、解答题 17. 记的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求A； （2）若AD是角A的平分线且，求的最小值. 18. 已知正项数列满足，. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求. 19. 如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面. （1）证明：； （2）已知，，平面与平面的交线为.在上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求线段的长度；若不存在，试说明理由. 20. 某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖的400家企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果： 支持 不支持 合计 中型企业 60 20 80 小型企业 180 140 320 合计 240 160 400 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关； （2）从上述支持技术改造的中小型企业中，按分层随机抽样的方法抽出12家企业，然后从这12家企业中随机选出9家进行奖励，中型企业每家奖励60万元，小型企业每家奖励20万元．设为所发奖励的总金额（单位：万元），求的分布列和均值． 附：，． 21. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为．过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，，与轴交于点，线段的中点为，直线过点且垂直于（其中为原点）． （1）求椭圆的标准方程并求弦的长； （2）证明直线过定点． 22. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若不等式恒成立，求实数k的取值范