专题01 线性运算与基底应用-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第二册）

专题01 线性运算与基底应用 目录 【题型一】 线性定理基础 1 【题型二】基底概念计算 2 【题型三】鸡爪形 2 【题型四】风帆型 3 【题型五】四边型 4 【题型六】 两线交点型 5 【题型七】赵爽弦图 6 【题型八】系数未知型 7 【题型九】最值：均值不等式型 9 【题型十】基底与数量积 10 培优第一阶——基础过关练 13 培优第二阶——能力提升练 14 培优第三阶——培优拔尖练 16 【题型一】 线性定理基础 【典例分析】 已知，是一组不共线的向量，且，，则，可以作为一组基底．( ) 【提分秘籍】 基本规律 平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 基底 若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 【变式训练】 1.已知，是一组不共线的向量，若，则，．( ) 2.平面向量的基底确定后，平面内的任何一个向量都可以用这组基底唯一表示．( ) 3.平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( ) 【题型二】基底概念计算 【典例分析】 若是一组基底，向量 (x,y∈R)，则称(x,y)为向量在基底下的坐标现已知向量在基底下的坐标为(－2,2)，则在另一组基底＝(－1,1)，＝(1,2)下的坐标为（    ） A(2,0) B(0,－2) C(－2,0) D(0,2) 【提分秘籍】 基本规律 对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 【变式训练】 1.在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A.， B.， C.， D.， 2.已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（    ） A B C D 3.已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（    ） A B C D 【题型三】鸡爪形 【典例分析】 在中，点满足，则（     ） A． B． C． D． 【提分秘籍】 基本规律 鸡爪形： 如图，若D点在BC线段上，且满足,则有 【变式训练】 1.在中，，则（    ） A． B． C． D． 2.如图所示，点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 3.如图所示，在中，为边上的中线，若，，则（    ）． A． B． C． D． 【题型四】风帆型 【典例分析】 如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式训练】 1.在中，，为的中点，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ） A． B． C． D． 3.如图，中，，，点E是的三等分点，则（       ） A． B． C． D． 【题型五】四边型 【典例分析】 已知矩形的对角线交于点O，E为AO的中点，若（，为实数），则（    ） A． B． C． D． 【提分秘籍】 基本规律 四边型、要注意两个特征题型： 1.基底不是三角形或者四边形的边，如练习题3 2.如果与四边形的边和角度无关，则可以把四边形看成矩形，构造坐标系，用坐标运算求解 【变式训练】 1.在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（    ） A． B． C． D． 2.如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，设，，则（    ） A． B． C． D． 3.在平行四边形中，，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【题型六】 两线交点型 【典例分析】 在中，，，交于，，则（    ）． A． B． C． D． 【提分秘籍】 基本规律 若三点A,B,C共线，则平面内任一点O。有，反之，也成立 【变式训练】 1.如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，，则（    ） A． B． C． D． 2.．中，M，N分别为AC，BC的中点，AN与BM交于点O，下列表达正确的是（    ） A． B． C． D． 3.中，D为BC中点，，AD交BE于P点，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型七】赵爽弦图 【典例分析】 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（