28.2 解直角三角形及其应用（讲+练）【9大题型】-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学下册重要考点精讲精练（人教版）

28.2 解直角三角形及其应用 解直角三角形 　　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，，　　　，，. 　　④，h为斜边上的高. 注意： 　　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. 　　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). 　　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 题型1：解直角三角形 1.（2022•庆元县校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，∠A＝60°，AC＝4． （1）求∠B的度数； （2）求AB的长． 【变式1-1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；（可以使用计算器） （1）c＝8，∠A＝30°； （2）b＝7，∠A＝15°； （3）a＝5，b＝12． 【变式1-2】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝6，解这个直角三角形． 解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 注意： 　　1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 　　2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 题型2：解非直角三角形 2.（2022秋•嘉峪关校级期末）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA的值是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022秋•临清市期中）如图，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝12，sinB＝，求BC长． 【变式2-2】（2021秋•淮阴区期末）在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求sinB，cosB． 题型3：解直角三角形与面积问题 3.设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B和∠C的对边，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝5，cosC＝，AD是BC边上的高线． （1）求AD的长； （2）求△ABC的面积． 【变式3-2】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，BC＝，AB＝4，tanC＝，求四边形ABCD的面积． 题型4：解直角三角形与方案问题（选做） 4.如图，有一块梯形空地ABCD可供停车，AD∥BC，∠C＝90°，∠B＝53°，AD＝1.6m，CD＝5.2m，现有一辆长4.9m，宽1.9m的汽车需要完全停入梯形区域，请你设计一种停车方案，并通过计算说明理由．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈） 【变式4-1】为了解决停车难问题，交通部门准备沿12米宽60米长的道路边规划停车位，按每辆车长5米、宽2.4米设计停车后道路仍有不少于7米的路宽保证两车可以双向通过，如下图设计方案1：车位长边与路边夹角为45°方案2：车位长边与路边夹角为30° （1）请计算说明，两种方案是否都能保证通行要求？ （2）计算符合通行要求的方案中最多可以停多少辆车？ （3）请你画示意图设计一个满足通行要求且停车更多的新方案，并计算出最多停放车辆数． 【变式4-2】如图，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，量得BC长为30m． （1）求河的宽度；（即求△ABC中BC边上的高） （2）请再设计一种测量河的宽度的方案．（≈1.414，≈1.732） 题型5：解直角三角形与综合 5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC延长线上，且满足∠CAD＝∠B． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若AC是∠BAD的平分线，sinB＝，BC＝4，求⊙O的半径． 【变式5-1】（2022•通辽）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交