9.2.2 向量的数乘-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)

9.2.2 向量的数乘 一、向量的数乘运算 1、定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. 3、线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 二、向量共线 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 【注意】 （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一. 题型一 向量的数乘运算化简 【例1】（2022·全国·高一专题练习）化简： （1）； （2）； （3）． 【变式1-1】（2022·贵州·高一校联考阶段练习）化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022秋·贵州六盘水·高一校考阶段练习）在平行四边形中，（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022·高一）若向量,则________. 题型二 向量的线性表示 【例2】（2022秋·浙江金华·高一浙江省浦江中学校联考阶段练习）已知△ABC的重心为O，则向量（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考期中）如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2022秋·辽宁·高一校联考阶段练习）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022·高一单元测试）如图所示，在中，与相交于点. （1）用和分别表示和； （2）若，求实数和的值. 【变式2-4】（2022秋·宁夏石嘴山·高一平罗中学校考阶段练习）如图所示，平行四边形中，，，，，试用向量，来表示，． 题型三 向量共线证明三点共线 【例3】（2022秋·吉林长春·高一东北师大附中校考期中）已知向量与向量不共线，，，，则一定共线的三点是（ ） A．M，P，Q B．M，N，P C．N，P，Q D．M，N，Q 【变式3-1】（2022·高一课时练习）已知，则共线的三点为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2022·高一单元测试）如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，. （1）用向量与表示向量，； （2）若，求证：三点共线. 【变式3-3】（2022·高一课时练习）如图所示，在中，D，F分别是边BC，AC的中点，且，，．求证：B，E，F三点共线． 题型四 利用向量共线求参数 【例4】（2022秋·广东广州·高一校考期中）设、是两个不共线的向量，已知，若A、B、D三点共线，求k的值为__________． 【变式4-1】（2022秋·浙江宁波·高一校考期末）设是两个不共线的向量，若向量()与向量共线，则( ) A． B． C． D． 【变式4-2】（2022·全国·高一）已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数λ的值为（ ） A