1.4 第1课时 角平分线的性质定理课件2022-2023学年 湘教版数学八年级下册

1.4 角平分线的性质 第1章 直角三角形 第1课时 角平分线的性质定理 学习目标 1.通过操作、验证等方式,探究并掌握角平分线的性质定理.(难点) 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. (重点) 挑战第一关 情境引入 问题1:在纸上画一个角,你能得到这个角的平分 线吗? 导入新课 用量角器度量,也可用折纸的方法. 问题2:如果把前面的纸片换成木板、钢板等,还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗? 提炼图形 问题3:如图,是一个角平分仪,其中AB=AD,BC= DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗? A B C (E) D 其依据是SSS,两全等三角形的 对应角相等. 1. 操作测量:取点P的三个不同的位置,分别过点P作PD⊥OA,PE ⊥OB,点D、E为垂足,测量PD、PE的长.将三次数据填入下表: 2. 观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系,写出结:_ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE p D E 实验:OC是∠AOB的平分线,点P是射线OC上的 任意一点 猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质 讲授新课 验证猜想 已知:如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E. 求证:PD=PE. P A O B C D E 证明: ∵ PD⊥OA,PE⊥OB, ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中, ∠PDO= ∠PEO, ∠AOC= ∠BOC, OP= OP, ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件: (1)角的平分线; (2)点在该平分线上; (3)垂直距离. 定理的作用: 证明线段相等. 应用格式: ∵OP 是∠AOB的平分线, ∴PD = PE 推理的理由有三个,必须写完全,不能少了任何一个. 知识要点 PD⊥OA,PE⊥OB, B A D O P E C 判一判:(1)∵ 如下左图,AD平分∠BAC(已知), ∴ = ,( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如上右图, DC⊥AC,DB⊥AB (已知). ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 例1:已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证:EB=FC. A B C D E F 证明: ∵AD是∠BAC的平分线, DE⊥AB, DF⊥AC, ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中, DE=DF, BD=CD, ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 典例精析 例2:如图,AM是∠BAC的平分线,点P在AM上,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=_cm. B A C P M D E 4 温馨提示:存在两条垂线段———直接应用 典例精析 A B C P 变式:如图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AP平分∠BAC交BC于点P,若PC=4, AB=14. (1)则点P到AB的距离为_. D 4 温馨提示:存在一条垂线段———构造应用 A B C P 变式:如图,在Rt △ABC中,AC=BC,∠C=900,AP平分∠BAC交BC于点P,若PC=4,AB=14. (2)求△APB的面积. D (3)求∆PDB的周长. ·AB·PD=28. 由垂直平分线的性质,可知,PD=PC=4, = 1.应用角平分线性质: 存在角平分线 涉及距离问题 2.联系角平分线性质: 面积 周长 条件 知识与方法 利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解 当堂练习 2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 . A B C D 3 E 1. 如图,DE⊥AB,DF⊥BG,垂足分别是E,F, DE =DF, ∠EDB= 60°,则 ∠EBF= °, BE= . 60 BF E B D F A C G 3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 A B M N C O A 4.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 D