5.3.1 函数的单调性（1）-【基础过关系列】2022-2023学年高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第二册)

5.3.1 函数的单调性 1 函数单调性与导数 在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增； 若，则函数在这个区间内单调递减． 解释 (1) 如下图，导数表示函数的图象在点处的切线的斜率，可发现， 在处，，切线是“左下右上”的上升式，函数的图象也是上升的，函数在附近单调递增； 在处，，切线是“左上右下”的下降式，函数的图象也是下降的，函数在附近单调递减. (2) 若函数在某个区间内单调递增，则(含等号)恒成立，但不存在一区间内使得； 假如存在一区间内使得，那原函数在区间内恒等于一个常数，即是个常数，则原函数不可能在内单调递增. 函数在某个区间内单调递减有类似结论！ (3)导函数“穿线图”与原函数“趋势图” ① 导函数“穿线图”关注导函数在各区间的正负，故特别注意函数与轴的交点情况， 如与的“穿线图”视为一样的，它们在上为负，在上为正. ② 原函数“趋势图”仅关注函数在各区间上的单调性，没顾及其最值或曲线形状等， 如由导函数的“穿线图”易得原函数在上递减，在上为递增，趋势图可如下图， ③ 后面涉及到函数单调性均可通过分析导函数“穿线图”得出原函数的单调性. 2 函数增长快慢 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”. 【例】 对数函数 幂函数 指数函数 导数 导数绝对值变化 在上较大， 在上较小 在原点附近较小， 离原点越远越大 在上较大， 在上较小 图象变化 在上陡峭， 在上平缓 在原点附近平缓， 离原点越远越陡峭 在上陡峭， 在上平缓 图象 【题型1】 导函数的“穿线图”与原函数的“趋势图” 【典题1】 若定义在上的函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为(　　) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为(　　) A． B． C． D． 2.如图是的图像，则函数的单调递减区间是 . 3.函数的图象如图所示，则不等式的解集 . 【题型2】 求不含参函数的单调性 【典题1】 求函数的单调区间. 【典题2】已知函数，其中，且曲线在点 处的切线平行于轴． (1)求实数的值；(2)求函数的单调区间． 【巩固练习】 1.已知函数，则其单调增区间是(　　) A． B． C． D． 2.函数的一个单调递减区间是(　　) A． B． C． D． 3.已知函数； (1)求在处的切线；(2)求的单调区间． 4.已知函数． (1)求函数在点处的切线方程．(2)试判断函数的单调性. 5.求函数的单调性. 【题型3】 不含参函数单调性的运用 【典题1】 已知函数，，，，则的大小关系是( ) A． B． C． D． 【典题2】已知定义在上的函数，其导函数为，满足，且，则不等式的解集为 　　 ． 【巩固练习】 1.已知函数，则，，的大小关系为( ) A． B． C． D． 2.已知函数，则不等式的解集为 . 3.已知定义在上的函数满足，对恒有，则的解集为 . 【A组---基础题】 1.已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是图中的( ) A． B． C． D． 2.下列函数中，在上为增函数的是( ) A． B． C． D． 3.判断函数在下面哪个区间内是增函数(　　) A． B． C． D． 4.已知函数在其定义域内为增函数，则的最大值为(　　) A． B． C． D． 5.函数，若，则有( ) A． B． C． D． 6.函数的定义域为，且函数的图象如图所示，则不等式的解集为 . 7.函数的单调递减区间为 . 8.若函数在上单调递增，则的取值范围是 . 9.定义在上的函数，满足，且对任意的，都有成立，则不等式的解集为 . 10.确定函数，的单调区间． 11.已知函数在处的切线为． (1)求实数的值；(2)求的单调区间． 【B组---提高题】 1.已知函数，且，则( ) A． B． C． D． 2.是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数，若，则必有(　　) A． B． C． D． 3.求函数的单调性. 【C组---拓展题】 1.已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且对任意实