7.4 二项式定理（课件）-高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）

7.4 二项式定理 第7章 计数原理 教师 xxx 苏教版（2019） 选择性必修第二册 ↓ ↓ ↓ 若今天是星期四， 天后的这一天是星期几呢？ 除以7的余数是多少？ 展开后的表达式是什么样的？ 问题引入 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2 思考：使用组合的观点说明(a+b)2是如何展开的。 (a+b)2==a2+2ab+b2 分析：(a+b)2可以看作是2个(a+b)相乘得到， 即(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 因此以每个(a+b)中的b作为研究对象： 每个都不取b的情况有 种,则a2前的系数为 恰有1个取b的情况有 种，则ab前的系数为 恰有2个取b的情况有 种，则b2前的系数为 . ； ； 探究新知 使用上述方法展开(a+b)3 (a+b)3==a3+3a2b+3ab2+b3 分析：(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) ① 项： a3 a2b ab2 b3 ② 系数： 探究新知 使用上述方法展开(a+b)n (a+b)n= 分析：(a+b)n = (a+b)(a+b)...(a+b) ① 项： an an-1b ... an-kbk ... bn ② 系数： ... ... 探究新知 一、二项式定理 叫做二项式定理. 一般地，对于n∈N*， (a+b)n= 右边的多项式叫做(a+b)n 的二项展开式. 其中各项的系数(k=0,1,2,...,n)叫做二项式系数， 式中的叫做二项展开式的通项，记作 Tk+1 ，为展开式的第k+1项. Tk+1= 第 k+1项 探究新知 1、总共n+1项； 2、a按照降幂排列，b按照升幂排列，每一项中a、b的指数和为n； 二项展开式的特点： 3、第k+1项的二项式系数为 探究新知 特殊地： （1）当把b替换为-b时， (a-b)n= （2）当a=1,b=x时， (1+x)n= （3）当a=1,b=1时， (1+1)n= 探究新知 例1 求 的展开式. 解：根据二项式定理， 典型例题 例2 （1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中x2的系数. 解：(1) 的展开式的第4项是 因此，展开式第4项的系数是280. 典型例题 解：(2) 的展开式的通项是 根据题意，得 因此，x2的系数是 典型例题 二、二项式系数的性质 1.对称性（性质1） 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由＝得到. 直线r＝将函数f（r）＝的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. 探究新知 2.增减性与最大值（性质2） 因为＝＝即 所以，当，即时，随k的增加而增大；由对称性知，当时，随k的增加而减小.当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值. 探究新知 3.各二项式系数的和（性质3） 已知（1+x）n＝+x+x2+…+xn， 令x＝1，得2n＝+++…+. 这就是说，（a+b）n的展开式的各二项式系数的和等于2n. +…+＝2n的背景意义 +…+的展开式左边是n个（1+x）相乘，按照取x的个数，可以将乘积中的项分为（n+1）类： 第1类，n个（1+x）都取1，即取0个x，共有种取法； 第2类，n个（1+x）中，1个取x，其余取1，共有种取法； 第3类，n个（1+x）中，2个取x，其余取1，共有种取法； …； 第n+1类，n个（1+x）中全部取x，共有种取法. 探究新知 例3 求证:在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 证明:在展开式 (a+b)n=中， 令a=1,b=-1，得 ( 1-1 )n= 即 因此 即在(a+b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 典型例题 例4 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和. (2)各项系数之和. (3)所有奇数项系数之和. 解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. （1）二项式系数之和为：. （2）各项系数之和为：a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)令x＝1，y＝－1，