6.3 平面向量基本定理及坐标表示 讲义——2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.3向量基本定理及坐标表示 知识梳理 一、平面向量基本定理 1、平面向量基底的概念 如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，，使得．我们把不共线的向量、叫做表示这个平面内所有向量的一组基底． 2、平面向量基本定理的应用 （1）平面向量基本定理唯一性的应用： 设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 （2）重要结论：设{e1，e2}是平面内一个基底，若， ①当时，与共线； ②当时，与共线； ②当时，； 二、平面向量的正交分解及坐标表示 1、平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解． 2、平面向量的坐标表示 （1）正交基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底． （2）平面向量坐标表示：对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标． 三、向量与坐标的关系 设＝xi＋yi，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y)．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 四、平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算 运算法则 加法运算 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2） 减法运算 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a–b=（x1–x2，y1–y2） 数乘运算 已知a=（x1，y1），则λa=（λx1，λy1），其中λ是实数． 向量坐标的求法 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则 =（x2–x1，y2–y1）． 五、平面向量数量积的几何与坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) 六、常用知识 1、已知P为线段AB的中点，若A（x1，y1）,B（x2，y2），则P点的坐标为 2、已知△ABC的顶点A（x1，y1）,B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的重心G的坐标为 题型梳理 题型精析 题型一、平面向量基本定理的理解 【例1】已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】 根据基底不共线原则判断即可. 【详解】只要两向量不共线便可作为基底， 故对于A选项，，共线，不满足； 对于B选项，，共线，不满足； 对于C选项，共线，不满足； 对于D选项，与不共线，故满足. 故选：D. 【例2】已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ） ①，；②，； ③，． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】 根据平面向量共线定理得到，对于①，故两向量共线；对于②，故两向量共线；对于③不存在实数满足，故不共线. 【详解】 对于①，，，故两向量共线； 对于②，，，故两向量共线； 对于③，， 假设存在 ，因为，是不共线向量， 故得到无解. 故选：A. 变式训练 1、设是不共线的两个向量，则下列四组向量不能构成基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】 在同一平面内,只要两个向量不共线，就可以作为这个平面的一组基底，逐项判断即可. 【详解】 对于A选项：设，是不共线的两个向量，,无解,与不共线，与可以构成一组基底； 对于B选项：设，是不共线的两个向量，,无解，与不共线，与可以构成一组基底； 对于C选项：设，是不共线的两个向量，，，与共线，与不能构成一组基底； 对于D选项：设，是不共线的两个向量，,无解, 与不共线，与可以构成一组基底； 故选：C 2、如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（ ） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【解析】根据图可知，所以，故选A． 【名师点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量基本定理，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.根据题图，将表示成的线性和形式，由此求得的值，进而求得的值. 3、若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】 不共线的向量能作为基底，逐一判断选项即可. 【详解】 不共线的向量能作为基底， 因为，所以向量，共线，故排除A； 假设，解得，无解， 所