5.1.1 变化率问题（2 ）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题（2） No.3 High School of Nanning 瞬时速度 平均速度 无限逼近 取极限 复习回顾 平均变化率 瞬时变化率 几何意义？ h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11 (高度关于时间的瞬时变化率) S＝πR2 (面积关于半径的瞬时变化率) v(t)＝4.8t＋11 (速度关于时间的瞬时变化率) 问题2 抛物线的切线的斜率 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢? 追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？ 追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？ 下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究. 探究 你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线? x y O f(x)＝x2 1 1 2 2 3 4 P0 与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线，我们通常在点P0(1, 1)的附近任取一点P(x, x2)，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况. x y 1 2 1 2 3 4 O • P P0 • 观察 如图示，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1, 1)时，割线P0P有什么变化趋势? T • 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置P0T，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线. 探究：如何求抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率呢？ 切线位置 割线位置 无限逼近 切线斜率 割线斜率 无限逼近 取极限 记点P的横坐标x＝1＋Δx，则点P的坐标即为(1＋Δx，(1＋Δx)2).于是割线P0P的斜率 Δx→0时，斜率kP0P→2. 例1 你能用上述方法，求抛物线f(x)＝x2在点P0(2，4)处的切线P0T的斜率吗？ 记点P的横坐标x＝2＋Δx，则点P的坐标即为 (2＋Δx，(2＋Δx)2).于是割线P0P的斜率 故抛物线在点P0(2，4)处的切线斜率为4. 例2 求抛物线f(x)=2x2-1在x=1处的切线方程. 例2 求抛物线f(x)=2x2－1在x=1处的切线方程. 1. 你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0, x02)处的切线? 试求抛物线f(x)=x2在点(－1, 1)处切线的斜率. 课本P64 课本P62 最下面 2. 求抛物线f(x)=x2+1在点(0, 1)处的切线方程. 课本P64 思考 观察问题1中的函数 的图象，平均速度 的几何意义是什么? 瞬时速度v(1)呢? P0 P T h(t)在t=1处的导数-5 是h关于t的瞬时变化率（物理意义） 是h在点(1,h(1))处的切线斜率（几何意义） 1.高台跳水运动员平均速度及瞬时速度 2.抛物线的割线及切线的斜率 课堂小结： $