专题16 勾股定理的应用十二种类型-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

专题16 勾股定理的应用十二种类型 类型一 求梯子的滑动高度 1．如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米． （1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？ （2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？ 【答案】（1）梯子距离地面的高度为米；（2）梯子的底端水平后移了0.5米． 【解析】 【分析】 （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度． （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.5米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离． 【详解】 解：（1）根据勾股定理： 所以梯子距离地面的高度为：AO米； （2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2.5﹣0.5）＝2米， 根据勾股定理：OB′＝2米， 所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5米， 答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米． 【点睛】 本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 2．如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB的距离为0.7米，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行． （1）如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移动多少距离？ （2）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由． 【答案】(1）0.8m；(2)不变. 【解析】 【分析】 （1）在直角三角形ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AO的长度，根据AO=AC+OC即可求得OC的长度，在直角三角形CDO中，已知AB=CD，CO即可求得OD的长度，根据BD=OD-OB即可求得BD的长度． （2）木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不会变化．根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可判断． 【详解】 解：（1）在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BO=0.7m， 则AO=m， ∵AO=AC+OC， ∴OC=2m， ∵直角三角形CDO中，AB=CD，且CD为斜边， ∴OD==1.5m， ∴BD=OD-OB=1.5m-0.7m=0.8m； （2）不变． 理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变． ． 【点睛】 考点：勾股定理的应用 3．将长为2.5米的梯子AC斜靠在墙上，梯子的底部离墙的底端1.5米（即图中BC的长）． （1）求梯子的顶端与地面的距离； （2）若梯子顶端A下滑1.3米，那么梯子底端C向左移动了多少米？ 【答案】（1）2；（2）0.9 【解析】 【详解】 试题分析：在Rt△三角形的特点根据勾股定理可以求解. 试题解析：（1）AB＝＝＝2； （2）设点A下滑到点，点C移动到点， 则＝2－1.3＝0.7， ＝＝2.4， ＝0.9 考点：勾股定理 类型二 求旗杆高度 4．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度． 【答案】12米. 【解析】 【分析】 设旗杆长为x米，则绳长为（x+1）米，根据勾股定理即可列方程求解. 【详解】 设旗杆长为x米，则绳长为（x+1）米，则由勾股定理可得： ， 解得x=12， 答：旗杆的高度为12米. 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确列出方程，再求解. 5．小明是一名升旗手，面对高高的旗杆，他想出了好几种方法测量方法，学过直角三角形后，他只用一把卷尺就测出了旗杆AB的高度．下面是他测量的过程和数据： 第一步：测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1m（如图1）， 第二步：拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1m，到旗杆的距离CE为8m，（如图2）．他很快算出了旗杆的高度，请你也来试一试． 【答案】解: 勾股定理，设旗杆的高度为x米，则绳子长为（x+1）米， 在Rt△ACE中，AC=x米，AE=（x-1）米，CE=8米， 由勾股定理可得，（x-1）2+82=（x+1）2， 解得：x=16． 【解析】 【详解】 试题分析：根据图形标出的长度，可以知道AB和CC的长度差值是1，以及CD=1，CE=8，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出旗杆的高度． 考点：勾股定理的应用 点评：此题主要考查了勾股定理的应用，表示出AE与AC长度利用勾股定理