专题03 完全平方的几何背景（两大类型）-2022-2023学年七年级数学下册《高分突破•培优新方法》（北师大版）

专题03 完全平方的几何背景（两大类型） 专题说明 完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的用.一方面完全平方公式这一教学内容是学生在已经学习单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，又为学习《因式分解》《配方法》等知识奠定了基础，是进一步研究《一元二次方程》《二次函数》的工具性内容. 【新方法解读】 知识点1：完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 知识点2：拓展、补充公式 ；； ；. 【典例分析】 【典例1】（2022秋•长寿区期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2） （1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 　 　； （2）根据（1）中的结论，若x+y＝7，x•y＝，则x﹣y＝　 　； （3）拓展应用：若（2022﹣m）2+（m﹣2023）2＝5，求（2022﹣m）（m﹣2023）的值． 【变式1-1】（2022秋•襄州区期末）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形． （1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ （2）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn （3）已知m+n＝7，mn＝6，求（m﹣n）2的值． 【变式1-2】（2022春•金水区期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者之间的等量关系式：　 　； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：（a+b）3＝a3+b3+3ab（a+b）． 利用上面所得的结论解答下列问题： （1）已知x+y＝6，xy＝，求（x﹣y）2的值； （2）已知a+b＝6，ab＝7，求a3+b3的值． 【变式1-3】（2022秋•二道区校级期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：　 　； （2）解决问题：如果，求a2+b2的值； （3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积． 【典例2】（2022秋•丰泽区校级期末）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值． （2）若x满足（6﹣x）（3﹣x）＝1，求代数式（9﹣2x）2的值． （3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝3，CF＝5，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积． 【变式2-1】（2022秋•松原期末）一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，利用这种方法解答下列问题． （1）通过计算图①中阴影部分的面积可以得到的数学等式是 　 　； （2）如图②，点E、G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，且DE＝k，BG＝k+1（k为常数，且k＞0），分别以GF、AG为边作正方形GFIH和正方形AGJK，设正方形ABCD的边长为x． ①求AE﹣AG的值； ②若长方形AEFG的面积是，求阴影部分的面积． 【变式2-2】（2022秋•丰满区期末）问题背景 如图，图1，图2分别是边长为（a+b），a的正方形，由图1易得（a+b）2＝a2+2ab+b2． 类比探究 类比由图1易得公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的方法，依据图2中的已知条件推导出完全平方的另一个公式． 解决问题 （1）计算：（2m﹣n）2＝　 ； （2）运用完全平方公式计算：1052； （3）已知（x+y）2＝12，xy＝2，求（