18.2.1 矩形-2022-2023学年八年级数学下册同步重难点精讲精练培优讲义（人教版）

2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义 18.2.1 矩形 1. 理解矩形的概念. 2. 掌握矩形的性质定理与判定定理. 知识点01：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点02：矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点03：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 知识点04：直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 【典例分析01】（2022八下·敦化期末）如图，在矩形中，，点M在边上，若平分，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：过点A作AE⊥DM于E，如图， ∵矩形， ∴∠B=∠C=90°，CD=AB=1，BC=AD=2， ∵AE⊥DM于E， ∠AEM=∠AED=90°， ∴∠B=∠AEM， ∵平分， ∴∠AMB=∠AME， ∵AM=AM， ∴△ABM≌△AEM（AAS）， ∴AE=AB=1，BM=ME， 在Rt△AED中，由勾股定理，得DE=， 设BM=ME=x，则CM=2-x，DE=+x， 在Rt△CDM中，由勾股定理，得 （+x）2=（2-x）2+12， 解得：x=2-， ∴CM=2-（2-）=， 故答案为：D． 【思路引导】过点A作AE⊥DM于E，利用“AAS”证明△ABM≌△AEM可得AE=AB=1，BM=ME，设BM=ME=x，则CM=2-x，DE=+x，利用勾股定理可得（+x）2=（2-x）2+12，再求出x的值，即可得到CM的值。 【典例分析02】（2022八下·涿州期末）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【规范解答】解：如图，过点O作OP⊥AD，则此时OP的长度最小. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， ∵， ∴AO=DO= ∵∠AOD=∠BOC=120° ∴∠OAD=30° ∵∠OPA=90° ∴OP= 故答案为：A. 【思路引导】过点O作OP⊥AD，则此时OP的长度最小.由矩形的性质可得AO=DO=，由对顶角相等可得∠AOD=∠BOC=120°，利用等要哦三角形的性质及三角形内角和可求出∠OAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OP=. 【随堂演练01】（2022八下·无为期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，，，，则矩形ABCD的面积为　 　． 【随堂演练02】（2022八下·潮安期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．试判断四边形OCED的形状并证明． 【典例分析03】（2022八下·巴彦期末）下列命题中，错误的是（　　） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】C 【规范解答】解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故A不符合题意； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B不符合题意； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C符合题意； 有一组邻边相等的矩形是正方形，故D不符合题意； 故答案为：C． 【思路引导】利用平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定