7.5 正态分布-【精彩三年】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册课程探究与巩固教师用书word（人教A版）

7.5　正态分布 [课程目标] 1.了解正态曲线和正态分布的概念，能借助正态曲线理解正态曲线的特点及曲线表示的意义.2.了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小，会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间内的概率.3.会用正态分布解决实际问题． (见学生用书P56) 知识点一　正态曲线、正态分布 (1)正态曲线 我们把函数f(x)＝e－(x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数)称为__正态密度函数__，称它的图象为正态密度曲线，简称__正态曲线__． (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝e－，则称随机变量X服从__正态分布__，记为X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从__标准正态分布__． [研读]参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 知识点二　正态曲线的性质、3σ原则 (1)正态曲线f(x)＝e－，x∈R有以下性质： ①曲线位于x轴__上方__，与x轴__不相交__． ②曲线是单峰的，它关于直线__x＝μ__对称． ③曲线在__x＝μ__处达到峰值____． ④曲线与x轴之间的面积为 __1__． ⑤当__σ__一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图1. ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示随机变量X的分布比较__集中__；σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示随机变量X分布比较__分散__，如图2. (2)3σ原则：正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. [研读](1)正态分布定义中的式子实际是指随机变量X的取值区间在[a，b]上的概率等于总体密度函数在[a，b]上的定积分值．也就是指随机变量X的取值区间在[a，b]上的概率等于正态曲线与直线x＝a，x＝b以及x轴所围成的封闭图形的面积． (2)从正态曲线可以看出，对于固定的μ和σ而言，随机变量在[μ－σ，μ＋σ]上取值的概率随着σ的减小而增大．这说明σ越小，X取值落在区间[μ－σ，μ＋σ]的概率越大，即X集中在μ周围的概率越大．正态分布的3σ原则是进行质量控制的依据，要会应用给定三个区间的概率解决实际问题． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数f(x)＝e－中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(　×　) (2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　×　) (3)正态曲线可以关于y轴对称．(　√　) (见学生用书P57) 　　 类型一 正态曲线的图象的应用 例1　下图是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态密度函数的解析式，求出随机变量的均值和方差． 解： 从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20.由＝，解得σ＝.于是该正态密度函数的解析式是f(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2. [规律方法] 利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式． 活学活用 已知随机变量X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态密度曲线如下，则下列说法正确的是(　D　) A．Y的取值比X的取值更集中于平均值 B．P<P C．P<P D．P>P 【解析】 由图知，X的图象比Y的图象更“瘦高”， 所以X的取值比Y的取值更集中于平均值，故A错误． 因为随机变量X的分布密度曲线关于x＝μ1对称， 随机变量Y的分布密度曲线关于x＝μ2对称，且μ1<0<μ2. 由图知，P＝P＝0.5，故B错误． 因为P>0.5，P＝0.5， 所以P>P，故C错误． P>0.5，P<0.5， 所以P>P，故D正确．故选D. 　　 类型二 利用正态分布的对称性求概率 例2　(1)设随机变量X服从正态分布N(2，9)，若P(X<2m＋1)＝P(X>m－1)，则实数m的值是(　B　) A． B． C． D．2 (2)良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状况，该校调查了高三年级1 200名学生的睡眠时间(单位：小时)，调查发现，这1 200名学生每天的睡眠时间服从正态分布，记为X～N，则每天的睡眠时间为5～6小时的学生人数约为__26__.(结果四舍五入保留整数)(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.