7.5 多边形的内角和与外角和（培优讲义）-2022-2023学年七年级数学下册同步重难点精讲精练培优讲义（苏科版）

2022-2023学年苏科版数学七年级下册同步重难点精讲精练培优讲义 7.5 多边形的内角和与外角和 1.理解多边形的概念； 2.掌握多边形内角和与外角和公式； 3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 知识点01：多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联接结所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。如图： 4. 凸多边形 凹多边形 要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 知识点02：多边形内角和定理 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点诠释： (1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 知识点03：多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点诠释： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【典例分析01】（2022七下·乐亭期末）如图，点D为的角平分线AE延长线上的一点，过点D作于点F，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：在△ABC中，∠BAC＝180°−∠B−∠C＝180°−50°−80°＝50°， ∵AD是角平分线， ∴∠BAE＝∠BAC＝25°， 在△ABE中，∠AEB＝180°−∠B−∠BAE＝75°， ∴∠AEB＝∠DEF＝75°， ∵DF⊥BC， ∴∠DFE＝90°， ∴∠D＝180°−∠DFE−∠DEF ＝180°−90°−75° ＝15° 故答案为：C． 【思路引导】先利用三角形的内角和及角平分线的定义求出∠BAE＝∠BAC＝25°，再利用三角形的内角和求出∠D＝180°−∠DFE−∠DEF＝15°即可。 【典例分析02】（2022七下·抚远期末）如图，已知，，点E在线段BC的延长线上，AE平分，连接DE，，． （1）求证； （2）求的度数． 【答案】（1）证明：∵，∴．∵，∴．∴． （2）解：设，则．∵，∴．∴．∵AE平分，∴．∵，∴，．∵∴，解得．即． 【思路引导】（1）由平行线的性质可得∠ABC=∠DCE，∠ADC=∠DCE，利用等量代换即得∠ABC=∠ADC； （2）设，则，由平行线的性质可得∠BAD=180°-∠ADC=180°-2α，由AE平分∠BAD，可得， 根据平行线的性质可得方程 ，解出α即可. 【随堂演练01】（2022七下·双城期末）如图摆放着一副三角板，∠B＝∠EDF＝90°，点E在AC上，点D在BC的延长线上，，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED的度数为（　　） A．15° B．20° C．30° D．45° 【随堂演练02】（2022七下·法库期末）如图，在中，，，，，点D在边上，将沿折叠，使点A恰好落在边上的点处． （1）求的周长； （2）若，求的度数． 【典例分析03】（2022七下·任丘期末）如图，将一个含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在两条平行线，中的上，若，则∠2的度数为　 　． 【答案】140° 【规范解答】解：如图， ∵， ∴∠3=∠1=70°， ∵∠3=∠4+∠A，∠A=30°， ∴∠4=70°-30°=40°， ∴∠2=180°-∠4=140°， 故答案为：140°； 【思路引导】先利用平行线的性质可得∠3=∠1=70°，利用三角形的外角求出∠4的度数，最后利用邻补角求出∠2的度数即可。 【典例分析04】（2022七下·万州期末）如图，中，，D