专题02 平面向量基本定理及坐标表示-2022-2023学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

专题02 平面向量基本定理及坐标表示 知识点一 平面向量基本定理 如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 【点拨】(1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e1＋λ2e2，且λ1＝λ2＝0． (2)对于固定的e1，e2(向量e1与e2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组． (3)定理推广：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一． 知识点二 平面向量的坐标运算 1．向量坐标的定义 【点拨】 （1）点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量仅由大小和方向决定，与位置无关． （2）点的坐标与向量的坐标的联系： ①当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标． ②两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．即 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔ 注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同． （3）点的坐标与向量的坐标的区别： ①书写不同，如a＝(1,2)，A(1,2)． ②给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个．因此，符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，常说点(x，y)或向量(x，y)． 2. 平面向量的坐标运算 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R. (1)加法、减法：若，则； (2)向量的数乘：若，则． (3)设，则，. 知识点三 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2＝x2y1时，a∥b． 【点拨】 两个向量共线条件的三种表示方法 (1)当b≠0时，a＝λb．它体现了向量a与b的长度及方向之间的关系． (2)x1y2－x2y1＝0．有助于解决向量共线问题，其优点在于不需要引入参数“λ”，减少了未知数的个数，从而使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征． (3)当x2y2≠0时，＝．即两向量的相应坐标成比例，更易形象记忆. 知识点四 平面向量数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 1．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2 2. 设a＝(x，y)，则|a|＝；设，则，. 3.a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 4．平面向量的夹角 【点拨】 （1）向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离. 考点01 平面向量基本定理及其应用 【典例1】（2023秋·辽宁营口·高一校联考期末）在中，，，若（，均大于0），则的值为______. 【典例2】（2023·高一课时练习）设,是不平行的向量，且，． (1)证明：,是平面向量的一个基； (2)用,的线性组合表示． 【总结提升】 1.平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 2.在应用平面向量基本定理时，要注意基向量不共线这个条件．若已知条件a＝λ1e1＋λ2e2没有指明，则应对e1，e2共线的情况加以考虑． 考点02 平面向量的坐标运算 【典例3】（2021秋·新疆喀什·高一校考期末）在中，点在上中点，点是的中点，若，，则等于（  ） A． B． C． D． 【典例4】（2022春·吉林长春·高一校考期中）已知向量，则下列说法正确的是___________. （1） （2） （3）向量在向量上投影向量的模长是 （4）与向量方向相同的单位向量是 【总结提升】 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 考点03 共线的坐标表示及其应用 【典例5】（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）已知向量，，，若与共线，则（    ） A．4 B