6.2排列组合问题经典题型与通用方法讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

排列组合问题经典题型与通用方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置：优先法 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有，然后排首位共有，最后排其它位置共有 ( 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 ) 由分步计数原理得 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素：捆绑法 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 ( 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. ) 练习:1、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 2、五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，则不同的排法有（ ） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：. 三.不相邻：插空法 例3.一个晚会节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ ( 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 )解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的5个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种 练习题1：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 变式：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 练习题2：马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种. 四.顺序一定：倍缩、空位、插入 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有种方法。思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 ( 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 空模型处理 ) 练习1、10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 2、由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ） A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，个，合并总计300个,选（种） 五.相同元素分组、分配问题：隔板法 例5、有6个相同的小球放入4个编号为1, 2,3,4 的盒子中，求下列问题中不同放法的种数. （1）每个盒子都不空；（2）恰有1个空盒子；（3）恰有2个空盒子. 解：（1）先把6个相同的小球排成一行，在首