4.6 反证法 学案2022-2023学年数学八年级下学期浙教版

4.6反证法导学案 班级 姓名 学习目标： 1、了解反证法的含义。 2、了解反证法的基本步骤。 3、会利用反证法证明简单命题。 4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条 也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”。 学习重点：反证法的含义和步骤。 学习难点：用两种方法完成平行线的传递性的证明。 1． 课前预学 根据路边的李树上结满了成熟的果子，有人推断这棵树上李子的味道一定是苦的，你认为有道理吗？为什么？ 二、课中导学 中国古代有一个《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动. 有人问王戎为什么? 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗？ 这与事实矛盾吗？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？ 所以，李子是苦的. 王戎的推理方法是: 提出假设 推理论证 得出矛盾 结论成立 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了，小华对小明说：“昨天晚上下雨了。” 你能对小华的判断说出理由吗？ 小华的理由吗： 假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。 反证法定义： 在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的．这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定．既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了． 求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角． 已知：四边形ABCD. 求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角． 反证法的步骤 1、 提出假设：__________________________________ 2、 推理论证：_______________________________ 三、得出矛盾:_______________________________ 四、结论成立：_______________________________ 求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. (1)你首先会选择哪一种证明方法? (2)如果选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾? 用反证法证题时，应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.三、课后延学 1．“a<b”的反面应是（ ） A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b 2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ） A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交 3．请说出下列结论的反面: （1）d是正数; （2）a≥0; （3）a<5． 4．如下图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点． 证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______________________”矛盾，所以假设不成立，则______________． 5．完成下列证明． 如右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角． 证明：假设结论不成立，则∠B是_________或_________． 当∠B是_______时，则____________________， 这与__________________________矛盾； 当∠B是_______时，则__________________， 这与___________________________矛盾． 综上所述，假设不成立．∴