13.2.2 三角形全等的判定——HL 讲义 2022-2023学年人教版八年级上册数学

13.2.2 三角形全等的判定——HL 讲义 一、【知识梳理】 1、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”,“ASA”或“SAS”判定定理. 2、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边,直角边定理 在两个直角三角形中,有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).这个判定方法是直角三角形所独有的,一般三角形不具备. 二、【例题精讲】 例1.如图,已知:AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,AC=CE. (1)AC与CE有什么位置关系? (2)请证明你的结论. 【答案】(1)AC⊥CE;(2)见解析 【分析】 ((1)根据题意写出结论即可. (2)由条件可证明Rt△ABC≌Rt△CDE,得到∠ECD=∠A,进一步可得∠ECA=90°,可证得结论. 解:(1). (2)证明:,, , 在和中, , , , , , , . 例2.如图,在ABC 中, AC BC ,直线l 经过顶点C ,过 A , B 两点分别作l 的垂线 AE , BF , E , F 为垂足. AE CF ,求证: ACB 90 . 【答案】见解析 【分析】先利用HL定理证明△ACE和△CBF全等,再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC=∠BCF,因为∠EAC+ACE=90°,所以∠ACE+∠BCF=90°,根据平角定义可得∠ACB=90°. 证明:如图,在RtACE 和RtCBF 中, ∵AC BC,AE CF , ∴RtACE ≌ RtCBF(HL) , ∴EAC BCF , ∵EAC ACE 90 , ∴ACE BCF 90 , ∴ACB 180 90 90 . 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定,全等三角形对应角相等的性质,熟练掌握性质是解题的关键. 例3.已知:,,,. (1)试猜想线段与的位置关系,并证明你的结论. (2)若将沿方向平移至图2情形,其余条件不变,结论还成立吗?请说明理由. (3)若将沿方向平移至图3情形,其余条件不变,结论还成立吗?请说明理由. 【答案】(1),见解析;(2)成立,理由见解析;(3)成立,理由见解析 【分析】 (1)先用判断出,得出,进而判断出,即可得出结论; (2)同(1)的方法,即可得出结论; (3)同(1)的方法,即可得出结论. 解:(1)理由如下: ∵,, ∴ 在和中 ∴, ∴ ∵, ∴, ∴, ∴; (2)成立,理由如下: ∵,, ∴, 在和中, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, 在中,, ∴; (3)成立,理由如下: ∵,, ∴ 在和中, ∴, ∴, ∵, ∴, 在中,, ∴. 【点拨】此题是几何变换综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,判断出是解本题的关键. 例4.已知:BE⊥CD于E,BE=DE,BC=DA, (1)求证:△BEC≌△DEA; (2)求证:BC⊥FD. 证明:(1)∵BE⊥CD, ∴∠BEC=∠DEA=90°, 在Rt△BEC与Rt△DEA中, ∵, ∴△BEC≌△DEA(HL); (2)∵由(1)知,△BEC≌△DEA, ∴∠B=∠D. ∵∠D+∠DAE=90°,∠DAE=∠BAF, ∴∠BAF+∠B=90°,即DF⊥BC. 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质,余角的性质定理,(1)熟练掌握三角形的判定定理,能根据题意筛选出合适的定理去证明是解决此问的关键;(2)本题主要应用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”. 三、【强化练习】 1、如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的一点,过D作DE⊥AB交AC于点E,CE=DE.连接CD交BE于点F. (1)求证:BC=BD; (2)若点D为AB的中点,求∠AED的度数. 2、如图,与的顶点A,F,C,D共线,与交于点G,与相交于点,,,. (1)求证:; (2)若,求线段的长. 3、已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,. 求证:(1);(2). 4、如图,∠A=∠D=90°,AB=DE,BF=EC. 求证:Rt△ABC≌Rt△DEF. 四、课后作业 1.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添加一个条件是( ) A.AE=DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB= CD 2.如图,点O是∠BAC内一点,且O到AB、AC的距离OE=OF,则△AEO≌△AFO的依据是( ) A.SSS B.AAS C.HL D.ASA 3.如图,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1=40°,则∠2= A.40° B.50° C.60° D.75° 4.如图,BP平分∠