28.1锐角三角函数 讲义 2022-2023学年人教版九年级数学下册

锐角三角函数 三角函数 定义(在直角三角形中) 表示方法 正弦 一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦 余弦 一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦. 正切 一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切. 用互余关系求角度;用勾股定理求边长 三角函数平方的表示:sin2A=sinA·sinA A C c B a b 坡角:坡面与水平面的夹角 坡度:坡角的正切值 α 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1 方向角;仰角、俯角;坡角 已知:∠B=45° ∠C=30°AE=1 求:AB=? AC=? BC=? 已知:∠B=45° ∠D=60° AE= 求:AB=? AD=? BD=? 1.如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,BC=3,求:AB、AC. 2.如图,在△ABC中,AB=7,BC=8,AC=5,求:△ABC的面积和∠C的度数. 常考模型: 1.如图,热气球探测器显示,从热气球M处看一座电视塔尖A处的仰角为20°,看这座电视塔底部B处的俯角为45°,热气球与塔的水平距离MC为200米,试求这座电视塔AB的高度.(参考数据:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36) 解:根据题意可知: ∠AMC=20 ∠BMC=45 ∠ACM=∠BCM=90 MC=200 在 Rt△AMC 中 ∵tan∠AMC=≈0.36 ∴AC=72 ∵∠BMC=45 MC=200 ∴BC=200 ∴AB=272 2.数学实践课上,同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度.小明同学所在的组先设计了测量方案,然后开始测量了.他们全组分成两个测量队,分别负责室内测量和室外测量(如图).室内测量组来到教室内窗台旁,在点E处测得旗杆顶部A的仰角α为45°,旗杆底部B的俯角β为60°.室外测量组测得BF的长度为5米,求旗杆AB的高度. 解:过点 E 作 EH⊥AB 根据题意可知: ∠AEH=45 ∠BEH=60 ∠AHE=∠BHE=90 BF=EH=5 在 Rt⊿BEH 中 ∵tan∠BEH== ∴BH= ∵∠AEH=45 EH=5 ∴AH=5 ∴AB=+5 3.在“综合与实践”活动中,某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度.如图,桥AB是水平并且笔直的,测量过程中,小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方90m的点C处悬停,此时测得桥两端A,B两点的俯角分别为30°和45°,求桥AB的长度.(结果精确到1m.参考数据:≈1.41,≈1.73) 1. 如图是某商场自动扶梯的示意图.自动扶梯AB的倾斜角为30°在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°,A、C之间的距离为6m,则自动扶梯的垂直高度BD= m.(结果保留根号) 2.在数学活动课上,老师带领学生测量校园中一棵树的高度.如图,在树前的平地上选择一点C,测得树的顶端A的仰角为30°,在C,B间选择一点D(C,D,B三点在同一直线上),测得树的顶端A的仰角为75°,CD间距离为20m,求这棵树AB的高度.(结果保留根号). 3.一艘船向正北方向航行,在A处时看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上,继续航行12海里到达B处,看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上,若继续沿正北方向航行,求航行过程中船距灯塔S的最近距离.(结果精确到0.1海里)(参考数据:≈1.41,≈1.73) 1.将Rt△ABC的各边长都缩小为原来的,则锐角A的正弦值( ) A.不变 B.缩小为原来的 C.扩大为原来的2倍 D.缩小为原来的 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=,AC=2,则tanB的值为( ) A. B.2 C. D. 3.在△ABC中,BC=2,AC=2,∠A=30°,则AB的长为( ) A. B.2 C.或4 D.2或4 4.如图,△ABC的顶点都在正方形网格的格点上,则tan∠ACB的值为( ) A. B. C. D. 5.如图所示的正方形网格中有∠α,则tanα的值为( ) A. B. C. D.2 6.在△ABC中,∠C=90°,tanA=2,则sinA的值是( ) A. B. C. D. 7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4,则sinA的值是( ) A. B. C. D. 8.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥CB于D,若tanC=,AD=8,则AB的长为( ) A. B.10 C. D.12 如果两个角相等,则它们对应的三角函数值相等 9.在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(1,2),如果射线OA与x轴正半轴的夹角为α,那么sinα的值是( ) A. B. C. D.2 10.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,下列等式中成立的是( ) A. B.