4.3.2等比数列的前n项和公式（第二课时）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册)

第四章 数列 4.3.2等比数列的前n项和公式 第二课时 一 二 三 学习目标 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 理解等比数列前项和公式的性质 应用等比数列前项和公式的性质解题 学习目标 新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用 例10 如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和; (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少? 分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列. 解:设各个正方形的面积组成数列{an}，正方形ABCD的面积为首项a1 , 则a1=25 3 4 新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用 1. 一个乒乓球从1 m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍. (1) 当它第6次着地时，经过的总路程是多少(精确到1 cm)? (2) 至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400 cm? 课本P40 新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用 例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到0.1万吨). 分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列,而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列 . 因此 ,可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算. 解: 设从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位:万吨)，则 新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用 = 20 ( 1.05+1.052+…+1.05n ) -( 7.5+9+…+6+1.5n ) 常用数列求和方法之分组求和法 (1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列； (2) 将等差数列和等比数列分开： Tn＝ c1 + c2 +… + cn ＝ (a1 + a2 +… + an )± (b1 + b2 +… + bn ) (3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn. 解： 变式： 例题小结 例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧ . (1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系; (2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数; (3) 求S10= c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1). 新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用 分析: (1)可以利用每年存栏数的增长率为8%和每年年底卖出100头建立cn+1与cn的关系； (2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式, 通过比较系数,得到方程组； (3)利用(2)的结论可得出解答. 例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧ . (1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系; (2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数; (3) 求S10= c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1). 新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用 例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧ . (1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系; (2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数; (3) 求S10= c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1). 新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用 12 课本P40 新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质 思考：你能发现等比数列前n项和公式Sn＝