4.3.2等比数列的前n项和公式（第一课时）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 4.3.2等比数列的前n项和公式 第一课时 一 二 三 学习目标 理解等比数列的前n项和公式的推导方法 握等比数列的n项和公式并能运用公式解决一些简单问题 提高学生的建模意识,体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法,渗透方程思想、分类讨论思想 学习目标 复习回顾 回顾1 等比数列的定义与递推公式是怎样的? 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示(显然). 等比数列的递推关系: 或 回顾2 等比数列的通项公式是什么? 首项为,公比为的等比数列的通项公式为 (n∈N﹡, q≠0) 3 数学小故事 相传,古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。于是,这位宰相跪在国王面前说: 新课导入 1 2 陛下,请您在这张棋盘的第一个小格内,赏给我一粒麦子;在第二个小格内给两粒,第三格内给四粒,照这样下去,每一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊,把这样摆满棋盘上所 有64格的麦粒,都赏给您的仆人吧! 第1格: 第2格: 第4格: 第3格: 第63格: 第64格: …… 新知探究一:等比数列的前n项和公式的推导与公式 问题1:这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢? 麦粒总数为 追问1: 构成什么数列? 等比数列 追问2: 应归结为什么数学问题呢? 求等比数列的前n项和问题 ①式两边同乘以2则有 2S64=2+22+23+···+263+264 ② 追问3:观察相邻两项的特征,有何联系? 如果我们把每一项都乘以2, 就变成了与它相邻的 后一项 S64=1+2+22+···+ 262 +263 ① 新知探究一:等比数列的前n项和公式的推导与公式 ① ② 反思:纵观全过程,①式两边为什么要乘以2 ? 乘以3? 会达到一样的效果吗? 追问4:比较①、②两式,你有什么发现? 新知探究一:等比数列的前n项和公式的推导与公式 ①-②得: 错位相减法 ① ② ①-②得: ①×q 得 问题2:类比上面求和的方法能否得到等比数列前n项和公式呢? 新知探究一:等比数列的前n项和公式的推导与公式 思考:要求出Sn,是否可以把上式两边同除以(1-q)? 注意:分类讨论是一种常用的数学思想方法! 新知探究一:等比数列的前n项和公式的推导与公式 首项 末项 公比 前n项和 项数 等比数列前n项和公式: 注意 (1)等比数列求和时,应考虑q=1与q≠1两种情况. (2)推导等比数列前n项和公式的方法:错位相减法. (3)步骤: 乘公比,错位写,对位减. 概念生成 1000粒麦子的质量约为40g 麦粒的总质量超过了7000亿吨 呼应故事 是2016~2017年世界小麦年产量(7亿多吨)的981倍,按每年7亿吨计算都要用1000多年才能满足西萨的要求;如果按人均每天吃_粮食计算,此棋盘上的粮食可供全世界_亿人吃上约_年. 1千克 80 240 所以国王兑现不了他的承诺。 跟踪练习:判断是非 2 n n个 5n 公式辨析 n 且 0 a=0 n a=1 { = 反思总结: 用公式前,先弄清楚数列的首项 、公比 、项数n 公式辨析 新知探究二:等比数列的前n项和公式的应用 14 新知探究二:等比数列的前n项和公式的应用 例7 已知数列{an}是等比数列. 1. 已知数列{an}是等比数列. 课本P37 1. 已知数列{an}是等比数列. 课本P37 新知探究二:等比数列的前n项和公式的应用 例2 已知等比数列{an}的首项为-1,前n项和为Sn,若 求公比q. 课本P37 4. 已知三个数成等比数列,它们的和等于14,积等于64. 求这个等比数列的首项和公比. 课本P37 5. 如果一个等比数列前5项的和等于10,前10项的和等于50,那么这个数列的公比等于多少? 课本P37 解法1: 例3 (1) (2) (3) 解法2: 两式相除:实现整体消元的目的 新知探究二:等比数列的前n项和公式的应用 例4 已知等比数列{an}的公比q ≠ -1,前n项和为Sn,证明 Sn , S2n-Sn , S3n-S2n , 成等比数列,并这个数列的公比. 新知探究二:等比数列的前n项和公式的应用 例4 已知等比数列{an}的公比q ≠ -1,前n项和为Sn,证明 Sn , S2n-Sn , S3n-S2n , 成等比数列,并这个数列的公比. 新知探究二:等比数列的前n项和公式的应用 若等比数列{an}的公比q≠-1,前n项和为Sn,则Sn, S2n-Sn, S3n-S2n成等比数列,其中公比为qn. 等比数列的片段和性质: 1.掌握等比数列前n项和公式推导方法(错位相减法). 2.掌握等比数列前n项和公式(注意分类讨论). 课堂小结 解:(1)因为,,