第十七章勾股定理复习讲义2022-2023学年人教版八年级数学下册

人教版八年级下第十七章勾股定理复习讲义 第一部分 知识点精准记忆 知识点一 勾股定理的内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两直角边长分别为,斜边为,那么有: . 注意: 1. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系. 2. 勾股定理仅用于直角三角形的求解,不能直接用于其它非直角三角形的求解. 3. 根据勾股定理,已知直角三角形的两边长,可以求出第三条边的长度. 4. 注意上面的公式中“”不一定是斜边,所以在用勾股定理解直角三角形时,要注意分类讨论. 5. 公式的变形:. 6. 勾股定理的使用对象是直角三角形,所以在应用勾股定理时要先在过程里面说明三角形是直角三角形,还要弄清楚直角边和斜边.若不确定斜边,则要展开分类讨论. 知识点二 勾股定理的证明 证明一: 如图(4),用4个相同的直角三角板拼成一个边长为的大正方形和一个边长为的小正方形,则有: 展开等式并整理可得: . 证明二: 如图(5),用4个相同的直角三角板拼成一个边长为的大正方形和一个边长为的小正方形,则有: 展开等式并整理可得: . 知识点三 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长,,满足,那么这个三角形是直角三角形,其中为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和与较长边的平方作比较,若它们相等时,以,,为三边的三角形是直角三角形;若,时,以,,为三边的三角形是钝角三角形;若,时,以,,为三边的三角形是锐角三角形; ②定理中,,及只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长,,满足,那么以,,为三边的三角形是直角三角形,但是为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 知识点四 .勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即中,,,为正整数时,称,,为一组勾股数 ①记住常见的勾股数可以提高解题速度,如;;;等 ②用含字母的代数式表示组勾股数: (为正整数); (为正整数) (,为正整数) 知识点五 勾股定理的应用 主要有两方面的应用: (1)已知直角三角形的两边长,求第三条边的长; (2)已知一边长,另两条边的长度之间存在着一定的数量关系,通过设未知数利用勾股定理列方程来求解直角三角形. 知识点六 .勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的一种重要的方法,因此也叫作直角三角形的判定定理,使用方法是: (1)首先确定最长边,不妨设最长边为; (2)分别计算处和: ①若,则三角形是直角三角形; ②若,则三角形不是直角三角形. 注意: (1)已知的条件:某三角形三条边的长度. (2)满足的条件:最长边的平方=最小边的平方+中间边的平方. (3)得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最长边的对角是直角. (4)如果不满足(2),则这个三角形不是直角三角形. 知识点七 勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二 者相辅相成,完成对问题的解决.常见图形: 知识点八 互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 第二部分考点典例 考点一:直接考查勾股定理 【例1-1】在中, ⑴已知,.求的长 ⑵已知,,求的长 【例1-2】在 中,已知其两直角边长 ,,那么斜边 的长为 A . B. C. D. 【例1-3】⑶已知直角三角形的周长为,斜边长为,则这个三角形的面积为 考点二: 实际问题中应用勾股定理 【例2-1】如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆 处,发现此时绳子末端距离地面 ,则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为 A. B. C. D. 【例2-2】如图所示,一根长 米的木棍( ),斜靠在与地面( )垂直的墙( )上,此时 的距离为 米,设木棍的中点为 .若木棍 端沿墙下滑,且 端沿地面向右滑行. (1)如果木棍的顶端 沿墙下滑 米,那么木棍的底端 向外移动多少米? (2)请判断木棍滑动的过程中,点 到点 的距离是否变化,并简述理由. 考点三:应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形 【例3-1】.已知三角形的三边长为,,,判定是否为直角三角形 ①,, ②,, 【例3-2】.三边长为,,满足,,的三角形是什么形状? 【例3-3】如图,在边长为 的小正方形组成的网格中, 的三个顶点均在格点上,请按要求完成下列各题: