5.1.2导数的概念及其几何意义课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1 导数的概念及其意义 5.1.2 导数的概念及其几何意义 复习巩固 对于函数，设自变量从变化到，则， 叫做函数从变化到的平均变化率. 结合瞬时变化率的思想方法，当时 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作,即 导数的概念 注：①函数应在点附近有定义，否则导数不存在； ②导数只与函数在及其附近的函数值有关，与无关； ③导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，它的实质是极限值. 例1 设，求 解： =-1 解 =-1 练习 设 ，求函数在处的导数. 解： =2 例2 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度(单位:m/s)，为 求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明他们的意义. 解：在第2 s和第6 s时，汽车的瞬时加速度就是 根据导数的定义， 2 所以 同理可得 在第2 s和第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是m/s与-6m/s.说明在第2 s附近，汽车的速度每秒大约增加 m/s ；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s . 通过求函数的导数，可以反映出函数在附近的变化情况.那么导数的几何意义是什么？ 思考 观察函数的图象，平均变化率 表示什么？瞬时变化率表示什么？ O P T O P T 平均变化率 表示割线的斜率. 瞬时变化率 表示切线的斜率k. 导数的几何意义 当点P沿着曲线无限接近点时，即当时，k无限趋近于函数在处的导数。因此，函数在处的导数就是切线的斜率，即 这就是导数的几何意义. 1.曲线在点P（1，1）处的切线方程为 . B 练习 2.曲线在点 A（-1，6）处的切线方程是 A. B. C. D. . 例3 如图,是人体血管中药物浓度（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图象，估计 t=0.2，0.4，0.6，0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）. 解：血管中药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率. 作t=0.8处的切线，并在切线上取两点，如（0.7，0.91）， （1.0，0.48），则该切线的斜率 所以 t 0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度的瞬时变化率 0.4 0 -0.7 -1.4 导函数 从求函数在处的导数的过程可以看到，当变化时，记作就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数）.的导数有时也记作，即 解： 所以，m=2. 又，即2+n=-1，所以，n=-3 故， 例4 已知 的导函数，则求m ,n的值. 思考 设函数处若该曲线的斜率最小的切线与直线平行，求的值. 答：-3 小结 导数 概念 几何 意义 导 函数 𝒇𝒙𝟎′=𝒍𝒊𝒎𝜟𝒙→𝟎𝜟𝒚𝜟𝒙=𝐥𝐢𝐦𝚫𝒙→𝟎𝒇𝒙𝟎+𝚫𝒙−𝒇𝒙𝟎𝚫𝒙 瞬时变化率 𝒌𝟎=𝒇𝒙𝟎′ 在该点切线的斜率 𝒇𝒙′=𝒚′=𝐥𝐢𝐦𝚫𝒙→𝟎𝒇𝒙𝟎+𝚫𝒙−𝒇𝒙𝟎𝚫𝒙. $