2023年九年级数学中考几何模型-对角互补模型课件

中考复习专题题 不积跬步 无以至千里。 几何模型-对角互补模型 不积跬步 无以至千里。 已知∠AOB=∠ACB=90°,OC平分∠AOB,OC=4,则四边形AOBC的面积是_. 问题引入 模型介绍 不积跬步 无以至千里。 在四边形中,如果有一组对角相加为180度,我们称之为对角互补模型。我们要结合图形及题干中已知,推得三角形全等或相似来解决问题;有时还需要我们把图形绕点进行旋转,构造三角形全等或相似来解决问题。 模型探究 不积跬步 无以至千里。 如图1,在四边形中FBDE,∠EDF+∠EBF=180°,旋转∠FBE得到∠HBI,求证:△FBH∽△EBI 图1 证明:∵∠EDF+∠EBF=180° ∴∠F+∠DEB=180° ∴∠F=∠EIB ∵旋转∠FBE得到∠HBI ∴∠FBE=∠HBI ∴∠FBH=∠EBI ∴△FBH∽△EBI 模型探究 不积跬步 无以至千里。 如图2,在四边形中FBDE,∠EDF+∠EBF=180°,连接BD,∠DBE=∠CBF,若△BCD为等边三角形,探究:线段DE、DF、BD之间的数量关系_; 图2 证明:∵∠EDF+∠EBF=180° ∴∠DFB+∠DEB=180° ∴∠CFB=∠DEB ∵△BCD为等边三角形 ∴BC=BD ∵∠DBE=∠CBF ∴△FBC≌△EBD ∴DE=CF ∴BD=DC=DF+CF=DF+DE BD=DF+DE 模型探究 不积跬步 无以至千里。 如图3,在四边形中FBED,∠EDF+∠EBF=180°,连接BD,∠DBE=∠CBF,若BD⊥DC,∠DCB=30°,探究:线段DE、DF、BD之间的数量关系_. 图3 证明:∵∠EDF+∠EBF=180° ∴∠DFB+∠DEB=180° ∴∠CFB=∠DEB ∵∠DBE=∠CBF ∴△CFB∽△DEB ∴ ∵BD⊥DC,∠DCB=30° ∴在RT∆DCB中sin30°= ∴ ∴2DE=CF ∴在RT∆DCB中tan30°= ∴ BD=DF+2DE BD=DF+2DE 方法归纳 不积跬步 无以至千里。 对于对角互补模型,我们通常的解题思路是旋转。 具体方法: ① 找到相等线段的共顶点② 边怎么转,边所在三角形就怎么转 ③ 利用三角形全等或相似来解决问题 不积跬步 无以至千里。 (全等型)例1、如图,四边形ABCD中,已知AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,若四边形ABCD的面积为4 ,则AC=_. 典例精讲 证明:∵∠BAD=60°,∠BCD=120° ∴∠ABC+∠ADC=180° ∵旋转∠BAD得到∠EAC与CB的延长线交于E ∴∠BAE=∠CAD, ∠ABE=∠ADC ∵AB=AD ∴∆ABE≌∆ADC ∴AC=AE ∴∆ACE是等边三角形 ∴△FBH∽△EBI ∵四边形ABCD的面积为4 ∴等边三角形∆ACE面积是4 ∴AC=4 E 4 不积跬步 无以至千里。 (全等型)例2、如图,在平面直角坐标系xOy中,A,B两点分别在x轴,y轴的正半轴上,且OA=OB,点C在第一象限,OC=3,连接BC,AC,若∠BCA=90°,则BC+AC的值为_. 证明:∵∠BCA=90°,∠BOA=90° ∴∠CBO+∠CAO=180° ∵OA=OB ∴把∆ACO逆时针旋转90°得到∆BEO 即∆ACO≌∆BEO ∠EBO=∠CAO ∠CBO+∠EBO=180° ∴C、B、E三点共线,OC=OE, AC=BE ∠COE=90° ∴CE=BC+BE=BC+AC ∆COE是等腰直角三角形 ∵OC=3 ∴CE= ∴BC+AC= E 不积跬步 无以至千里。 (相似型)例3、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D,E,F分别在AB,AC,BC边上,且∠EDF=90°,若AC=3,BC=4,DE=2DF时,则AD的长为_. M N 证明:过点D作DN⊥BC,DM⊥AB ∠C=90° ∴四边形MBND是矩形 ∴∠MDN=90° ∵∠EDF=90 ∵∠MDE=∠NDF ∴△MDE∽△NDF ∴ ∵DE=2DF ∴MD=2DN ∵DM‖BC ∴△AMD∽△ACB ∴ ∵AC=3,BC=4 ∴4AM=3MD ∴4(3-DN)=3(2DN) ∴DN= ∴DM= AM= ∴AD= 3 不积跬步 无以至千里。 (相似型)例4、如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点E在对角线AC上,连接BE,作EF⊥BE,垂足为点E,交CD于点F,求 的值. 证明:在矩形ABCD中,过点E作EN⊥BC,EM⊥DC ∴四边形ENCM是矩形 ∴∠MEN=90° ∵EF⊥BE ∴∠BEF=90 ∴∠BENE=∠FEM ∴△BEN∽△FEM ∴ ∵EN‖AB EM‖AD ∴ ∴ ∵AB=3,BC=5=AD ∴ N M 课堂检测 不积跬步 无以至千里。 1、已知∠A