专题05 勾股定理的应用（含折叠、动点）重难点题型专训-2022-2023学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题05 勾股定理的应用（含折叠、动点）重难点题型专训 【题型目录】 题型一 勾股定理应用之航海问题 题型二 勾股定理应用之梯子滑落高度问题 题型三 勾股定理应用之蚂蚁行程问题 题型四 勾股定理之旗杆高度问题 题型五 勾股定理之台阶上地毯长度问题 题型六 勾股定理之是否受台风影响问题 题型七 勾股定理之折叠问题 题型八 勾股定理之动点问题 【经典例题一 勾股定理之航海问题】 【例1】（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（　　） A．40海里 B．40海里 C．80海里 D．40海里 【答案】B 【分析】过点P作PC⊥AB，则在中，通过30°的直角三角形，计算出PC的长，再根据等腰直角三角形，通过勾股定理即可求出PB． 【详解】解：作PC⊥AB于C点， ∵A在P的北偏东30°方向， ∴， ∴， 又∵B在P的南偏东45°方向上， ∴， ∴， ∴∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AP＝80（海里） ∴在中，， ∴（海里） ∵在中，∠BPC＝45°， ∴三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴（海里）． 故选：B． 【点睛】本题考查方位角有关的计算以及用勾股定理求航海问题，解决本题的关键是构建直角三角形进行计算． 【变式训练】 【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+100），沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（　　） A．：2 B．：1 C．：2 D．：1 【答案】A 【分析】过C作CD⊥AB于D，设AD=x，根据特殊三角形的性质，分别用含x的代数式表示出CD，BD，根据AB的长求出x，再根据勾股定理求出AC，BD，即可得到答案． 【详解】解：过C作CD⊥AB于D， 设AD=x， 由题意得∠CAD=45°，∠NBC=60°， 在Rt△ACD中，∠ACD=90°-45°=45°， ∴∠ACD=∠CAD， ∴CD=AD=x， ∴ ， 在Rt△BCD中，∠CBD=90°-60°=30°， ∴BC=2CD=2x， ∴ ， ∵AB=100+100 ， ∴AD+BD=x+x=100+100， ∴（1+）x=100（1+）， ∴x=100， 即AD=100海里， ∴AC=100海里，BC=200海里， ∵时间一定时速度与路程成正比， ∴客轮与补给船的速度之比为100：200=：2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键． 【变式2】（2022春·四川南充·八年级四川省南充市第九中学校考阶段练习）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上，于点D，则AD的长为______海里． 【答案】 【分析】如图，和有公共边，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用表示出与，根据即可列方程，从而求得的长． 【详解】如图所示： 则， ∴， ∴海里． 在中，设海里，则海里， ， 在中， ， ， 又∵, ∴， 解得：， ∴海里 故答案为： 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、直角三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路． 【变式3】（2022秋·河北邯郸·九年级邯郸市第二十三中学校考期末）在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距60海里． (1)求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）； (2)求救助船、分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 【答案】(1)海里 (2)救助船先到达，计算过程见解析 【分析】（1）如图，作于，在中先求出的长，继而在中求出的长即可； （2）根据“时间=路程÷速度”分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作于， ∴， 由题意得：海里，，， ∴海里，是等腰直角三角形， ∴海里，海里， 答：收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里； （2）解：∵海里，海里，救助船分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发， ∴救助船所用的时间为(小时)， 救助船所用的时间为(小时)， ∵， ∴救助船先到达． 【点睛】本题考查了解