2.2 二倍角的三角函数（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

2.2　二倍角的三角函数 课程内容标准 学科素养凝练 1.能推导并记住二倍角的正弦、余弦和正切公式． 2.能利用二倍角的正弦、余弦和正切公式化简、求值和证明． 3.掌握二倍角公式的主要变形，并能熟练应用 1.借助二倍角公式的推导，培养学生的数学建模和逻辑推理的核心素养． 2.通过利用二倍角公式进行化简、求值和证明，提升学生的数学运算、数据分析和逻辑推理的核心素养 sin 2α＝2sin_αcos_α， (S2α) cos 2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1，(C2α) tan2α＝．(T2α) 以上公式称为二倍角的正弦、余弦、正切公式，统称为二倍角公式．这些公式仅对于使等号两边都有意义的α成立． 1．公式的逆用 2sinαcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α， cos2α－sin2α＝cos2α，＝tan2α. 2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α， 1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2. 降幂公式 cos2α＝，sin2α＝. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)sin α＝2sin cos .(　　) (2)cos 4α＝cos22α－sin22α.(　　) (3)对任意角α，tan2α＝.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)× 2．若sinα＝，则cos 2α＝(　　) A．　　　　B．　　　　C．－　　　　D．－ B　[cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.] 3.的值是(　　) A． B．－ C．2 D．－2 B　[＝·＝tan150°＝－.] 4.－cos2＝________． －　[－cos2＝＝－cos＝－.] [知能解读]　对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 求下列各式的值： (1)sin cos ；(2)1－2sin2750°； (3)；(4)cos20°cos 40°cos 80°. 解　(1)原式＝＝＝. (2)原式＝cos (2×750°)＝cos 1 500° ＝cos (4×360°＋60°)＝cos 60°＝. (3)原式＝tan (2×150°)＝tan 300°＝tan (360°－60°) ＝－tan 60°＝－. (4)原式＝ ＝＝＝＝. [方法总结]　在使用二倍角公式化简时，要注意三种应用：(1)正用公式，从题设条件出发，顺着问题的线索，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．(2)公式逆用，要求对公式特点有一个整体感知．(3)公式的变形应用． [训练1]　求下列各式的值： (1)cos 72°cos 36°；(2)sin sin . 解　(1)原式＝＝＝＝＝＝. (2)∵sin ＝sin ＝cos ， ∴sin sin ＝sin cos ＝·2sin cos ＝sin ＝. (1)已知sin 2α＝－，α∈，则sin α＋cos α＝(　　) A．　　　　B．－　　　C．－　　　　D． A　[∵α∈，∴sin α＋cos α＞0. ∴sin α＋cos α＝ ＝＝＝ ＝.] (2)已知sin ＝，则sin 2x的值为(　　) A． B． C． D． D　[sin 2x＝cos ＝1－2sin2＝1－＝.] [变式1]　若本例(1)中α∈，求sinα＋cos α的值． 解　因为α∈，所以sin α＋cos α＜0， 所以sin α＋cos α＝－. [变式2]　在本例(1)的条件下求tan α的值． 解　因为sin 2α＝2sin αcos α＝＝－， 故＝－，解得tanα＝－或－， 因为α∈，所以tan α∈(－1，0)，故tan α＝－. [方法总结]　 (1)从角的关系寻找突破口，这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． (2)当遇到±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos 2x＝sin ＝2sin cos .类似这样的变换还有：cos 2x＝sin ＝2sin cos ，sin 2x＝cos ＝2cos2－1＝1－2sin2(－x). [训练2]　(1)(2021·全