1.6.3 解三角形应用举例（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．6.3　解三角形应用举例 课程内容标准 学科素养凝练 能够运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算等有关的实际问题 通过运用余弦、正弦定理解决实际问题，提升数学建模及数学运算素养 在运用解三角形的知识解决实际问题时，应根据题意将实际问题转化为解三角形的问题，从中抽象出一个或几个三角形，然后解这些三角形，得出所要求的量，经检验后得到实际问题的解．其基本步骤如图所示： 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)已知三角形的3个角，能够求其3条边．(　　) (2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．(　　) (3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向．(　　) 答案　 (1)×　(2)×　(3)× 2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　) A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° B　[根据题意和仰角、俯角的概念画出草图， 由图可知α＝β，故应选B.] 3．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间的距离为(　　) A．a km B．a km C．a km D．2a km A　[在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝a.] 4. 如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3 mm，BC＝2 mm，AB＝ mm，则∠ACB＝________． 　[在△ABC中，由余弦定理的推论得cos ∠ACB＝＝－.因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝.] [知能解读] 当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类： 1．两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得AB＝. 2．两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先利用三角形内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB. 3．两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB. 如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达．为了测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB. 若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离． 解　在△ADC中，∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°， ∴∠DAC＝60°. ∴AC＝DC＝. 在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得 BC＝·sin ∠BDC＝·sin 30°＝. 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 45° ＝＋－2×××＝. ∴AB＝.∴A，B两点间的距离为 km. [变式]　将本例条件变为“海监船在A岛南偏西50°方向，相距12 n mile的B处，发现一走私船正由A岛沿北偏西10°的方向以10 n mile/h的速度航行，海监船要用2 h追上走私船”，试求海监船的速度是多少？ 解　假设2 h后在C点相遇， 则AC＝20 n mile， 设海监船的速度为v n mile/h， 则BC＝2v n mile. ∵∠CAB＝180°－10°－50°＝120°， ∴根据余弦定理，得 BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos 120°. ∴4v2＝202＋122－2×20×12×. ∴v＝14 n mile/h. ∴海监船的速度为14 n mile/h. [方法总结]　求距离问题时应注意的两点 1．选定或确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． 2．确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． [训练1]　 如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB＝6 m，∠ABD＝60°，∠DBC＝90°，∠DAB＝75°，试求C，D之间的距离． 解　∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝150°. 因为AB∥CD，所以C＝180°－150°＝30°. 在△ABD中，AB＝6，∠AD