1.5.2 数量积的坐标表示及其计算（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1.5.2　数量积的坐标表示及其计算 课程内容标准 学科素养凝练 掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 通过学习向量数量积的坐标表示，提升数学运算及数学抽象素养 两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的数量积的坐标表达式为a·b＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2. 1．向量的长度 计算向量a＝(x，y)的模(即长度)的公式为|a|＝＝. 2．夹角的余弦值 计算两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)夹角余弦值的公式为cos 〈a，b〉＝＝ . 3．垂直条件 已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔ a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．(　　) (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．(　　) (3)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°.(　　) (4)若两个向量的数量积小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 A　[由题意，a·b＝(－2，1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.故选A.] 3．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角θ为(　　) A． B． C． D． B　[∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5， ∴cos θ＝＝＝. 又∵θ∈[0，π]，∴a与b的夹角为.] 4．设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m).若a⊥(ma－b)，则m＝________． －1　[由题意得，ma－b＝(m＋1，－m). 根据向量垂直的充要条件可得 1×(m＋1)＋0×(－m)＝0. 所以m＝－1.] [知能解读]　向量问题的处理有两种思路，一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．通过向量的坐标运算可实现向量问题的代数化，在解题中应注意与方程、函数等知识联系． 已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10. (1)求向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b. 解　(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0). ∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10. 解得λ＝2.∴a＝(2，4). (2)(a·c)b＝[2×2＋4×(－1)]b＝0b＝0. [方法总结]　进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两个途径：一是先将各向量用坐标表示出来，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算． [训练1]　已知向量a＝(1，3)，b＝(2，5)，c＝(2，1).求： (1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；(3)(a·b)c；(4)a(b·c)． 解　(1)a·b＝(1，3)·(2，5)＝1×2＋3×5＝17. (2)∵a＋b＝(1，3)＋(2，5)＝(3，8)， 2a－b＝2(1，3)－(2，5)＝(2，6)－(2，5)＝(0，1)， ∴(a＋b)·(2a－b)＝(3，8)·(0，1)＝3×0＋8×1＝8. (3)(a·b)·c＝17c＝17(2，1)＝(34，17). (4)a(b·c)＝9(1，3)＝(9，27). 已知a＝(4，3)，b＝(－1，2). (1)求a与b夹角的余弦值． (2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值． 解　(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2， |a|＝＝5，|b|＝＝， 设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝. (2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)， 又(a－λb)⊥(2a＋b)， 所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝. [方法总结]　解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cos θ＝＝ 直接求出cos θ.由三角函数值cos θ 求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π. (2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ＞0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0. [训练2]　已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c. (1)求b与c； (2)若m＝2a－b，n＝a＋