1.4.2 向量线性运算的坐标表示（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．4.2　向量线性运算的坐标表示 课程内容标准 学科素养凝练 1.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算． 2.理解用坐标表示平面向量共线的条件 1.通过学习平面向量的坐标运算，提升数学运算的素养． 2.通过学习利用坐标表示平面向量共线的条件，提升数学抽象及逻辑推理素养 1．向量加、减法 两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或差)，即a±b＝(x1，y1) ±(x2，y2)＝(x1±x2，y1±y2). 2．向量数乘 一个实数λ与向量a＝(x，y)的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标，即λa＝λ(x，y)＝(λx，λy). 3．向量坐标 在平面直角坐标系中，向量的坐标等于终点Q的坐标(x2，y2)减去起点P的坐标(x1，y1)，即＝(x2－x1，y2－y1). 4．中点坐标公式 若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段AB的中点坐标公式． 向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2) 平行(也就是共线)，可以直接用(x1，y1) ∥(x2，y2)来表示，这意味着其中一个坐标是另一个坐标的实数倍．因此x1y2＝x2y1成立，即(x1，y1)∥(x2，y2)⇔x1y2－x2y1＝0. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝.(　　) (2)在平面直角坐标系内，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量＝(x1－x2，y1－y2).(　　) (3)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.(　　) (4)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若a＝(2，1)，b＝(1，0)，则3a＋2b的坐标是(　　) A．(5，3)　　　　　　　 B．(4，3) C．(8，3) D．(0，－1) C　[3a＋2b＝3(2，1)＋2(1，0)＝(8，3).] 3．若向量＝(1，2)，＝(3，4)，则＝(　　) A．(4，6) B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(2，2) A　[＝＋＝(1，2)＋(3，4)＝(4，6).] 4．若A(3，－6)，B(－5，2)，C(6，y)三点共线，则y＝________． －9　[＝(－8，8)，＝(11，y－2)， 依题意∥， ∴－8×(y－2)－8×11＝0，解得y＝－9.] 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 解　(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1). (3)a－b＝(－1，2)－(2，1)＝－＝. [方法总结]　平面向量运算的坐标表示方法 1．若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． 2．若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算． 3．向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． [训练1]　已知向量a＝(1，2)，b＝(3，－4)，c＝(－2，6)，试求a＋3b，3a－2b＋c. 解　因为a＝(1，2)，b＝(3，－4)，c＝(－2，6)， 所以a＋3b＝(1，2)＋3(3，－4)＝(1，2)＋(9，－12)＝(10，－10)， 3a－2b＋c＝3(1，2)－2(3，－4)＋(－2，6)＝(3，6)－(6，－8)＋(－1，3)＝(－4，17). 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们同向还是反向？ 解　法一　ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)， a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)， 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b).由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，得k－3＝10λ， 2k＋2＝－4λ，解得k＝λ＝－. 当k＝－时，ka＋b与a－3b平行， 这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)， ∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向． 法二　由法一知ka＋b＝(k－3，2k＋2)， a－3b＝(10，－4). ∵ka＋b与a－3b平行， ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－. 故ka＋b与a－3b反向． [方法总结]　利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解． (2)利用向量平行的坐标表达式直接求