1.4.1 向量分解及坐标表示（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．4　向量的分解与坐标表示 1．4.1　向量分解及坐标表示 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解平面向量基本定理及其意义． 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 1.通过学习平面向量基本定理的有关知识，提升数学抽象及直观想象素养． 2.通过学习平面向量的正交分解及坐标表示，提升数学抽象及数学运算素养 1．平面向量基本定理 设e1，e2是平面上两个不共线向量，则 (1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即v＝xe1＋ye2，其中x，y是实数． (2)实数x，y由v＝xe1＋ye2唯一决定，也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，则x＝x′，y＝y′. 2．基 称不共线向量e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2}，分解式v＝xe1＋ye2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为v在这组基下的坐标．记作v＝(x，y). 1．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解． 2．平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基．记作{i，j}． 3．建立平面直角坐标系，若平面向量v的坐标是(x，y)，我们视其为v在x轴、y轴正方向上的单位向量e1，e2组成的基下的坐标，即v＝xe1＋ye2＝，其中点P的坐标为(x，y). 反过来，在平面上任取一组标准正交基{e1，e2}，取定一个原点O，作OE1＝e1，OE2＝e2， 以有向直线OE1为x轴，OE2为y轴，|OE1|＝|OE2|为单位长度，建立平面直角坐标系，则任意一点P的坐标(x，y)就是向量＝xe1＋ye2在基{e1，e2}下的坐标． 4．坐标公式 设单位向量e1，e2的夹角〈e1，e2〉＝90°，非零向量v的模|v|＝r且〈e1，v〉＝α， 则v＝(r cos α，r sin α). 1．下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基．(　　) (2)零向量可以作为基向量．(　　) (3)平面向量基本定理中基的选取是唯一的．(　　) (4)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．(　　) (5)与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为i＝(1，0)，j＝(0，1).(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．下列三种说法： ①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面内所有向量的基； ②一个平面内有无数对不共线的非零向量可作为表示该平面内所有向量的基； ③零向量不可以作为基中的向量． 其中正确的有(　　) A．①②　　　　　　　　 B．②③ C．①③ D．①②③ 答案　B 3．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b B　[∵CD为角平分线，∴＝＝. ∵＝－＝a－b，∴＝＝a－b， ∴＝＋＝b＋a－b＝a＋b.] 4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________． －15　－12　[由向量e1，e2不共线，可得解得] (多选题)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D．若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 BC　[由平面向量基本定理可知，A，D是正确的．对于B，由平面向量基本定理可知，如果一个平面的基确定，那么任意一个向量在此基下的实数对是唯一的．对于C，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．] [方法总结]　考查两个向量是否能构成基，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基唯一线性表示出来． [训练1]　设{e1，e2}是平面内一组基，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基{a，b}的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b. 　－　[由题意，设e1＋e2＝ma＋nb. 因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2， 所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2. 由平面向量基本定理得所以] [知能解读]　应用平面向量基本定理时的