7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

7．2　复数的四则运算 7．2．1　复数的加、减运算及其几何意义 课程标准 核心素养 1．熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则． 2．理解复数加、减法的几何意义． 1．通过类比多项式加减运算得到复数的加减运算．(数学运算) 2．由向量的加减运算得到复数的加减运算的几何意义．(直观想象) 1．复数加法与减法的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 复数加减法的运算法则 ①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i 复数加法的运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 ①z1＋z2＝z2＋z1； ②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) 向量的加法运算法则是什么？是否适合复数的加法运算法则？ 答案：平行四边形法则，由于复数与平面向量是一一对应的，所以向量加法的平行四边形法则适合复数的加法运算法则． 已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于(　　) A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8i B　解析：根据复数的加法法则得z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝6．故选B． 2．复数加减法的几何意义 (1)如图，设复数z1，z2对应向量分别为，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应． (2)复平面内的两点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)之间的距离是 ． 类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？ 答案：|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离． 设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　解析：∵z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i， ∴z1－z2在复平面内对应的点为(5，－7)，位于第四象限．故选D． 知识点一 复数的加、减运算 计算： (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)． 解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i) ＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i． (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i) ＝－4＋4i． (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i(a，b∈R)． 复数的加、减运算的几个注意点 (1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并． (2)复数的加、减运算结果仍是复数． (3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算． (4)实数集中的加法交换律和结合律在复数集中仍适用． 设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2． 解：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi， ∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i， ∴解得 ∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i， ∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i． 知识点二 复数加减法的几何意义 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i．求： (1)表示的复数； (2)对角线表示的复数． 解：(1)因为＝－，所以表示的复数为－3－2i． (2)因为＝－，所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i． [探究]　本例的条件不变，试求对角线所表示的复数及的长度． 解：因为对角线＝＋＝＋， 所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 所以||＝＝． 复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的． (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变． 已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于点O．求： (1)对应的复数； (2)对应的复数． 解：(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以＝＋，于是＝－， 而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i， 即对应的复数是－2＋2i． (2)因为＝－， 而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即对应的复数是5． 知识点三 复数模的最值问题 (1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　) A．1 B． C．2 D． (2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小