6.4.1 6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

6．4　平面向量的应用 6．4．1　平面几何中的向量方法 6．4．2　向量在物理中的应用举例 课程标准 核心素养 1．会用向量方法计算或证明几何中的相关问题，解决简单的力学问题及其他实际问题． 2．体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 会运用向量方法解决平面几何问题及简单的力学问题．(数学建模、逻辑推理) 1．向量方法解决平面几何问题的三个步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．平面几何问题与平面向量之间的对应关系 几何元素及其表示 向量及其运算 点A 线段AB，A，B两点间的距离 ||, ＝ 夹角∠AOB cos ∠AOB＝ 直线a∥b a∥b，a＝λb(b≠0) A，B，C三点共线 ＝λ 直线a⊥b a⊥b，a·b＝0 用向量证明平面几何问题的方法，常有哪两种思路？ 答案：(1)向量的线性运算法；(2)向量的坐标运算法． 在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC(　　) A．是正三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形 D．形状无法确定 C　解析：(＋)·(－)＝2－2＝0，即||＝||，∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形．故选C． 3．向量方法解决物理问题的四个步骤 (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题． (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型． (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等． (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． 向量的数量积与功有什么联系？ 答案：物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积． 若向量1＝(2，2)，2＝(－2，3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　) A．(0，5) B．(4，－1) C．2 D．5 D　解析：|F1＋F2|＝|1＋2|＝|(2，2)＋(－2，3)|＝|(0，5)|＝5．故选D． 知识点一 利用平面向量证明平面几何问题 已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0， (1)用，表示； (2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形． (1)解：因为2＋＝0， 所以2(－)＋(－)＝0， 2－2＋－＝0， 所以＝2－． (2)证明：如图，＝＋＝－＋＝(2－)． 故＝．即DA∥OC，且DA≠OC，故四边形OCAD为梯形． 用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE． 证明：方法一　设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0， 又＝＋＝－a＋b， ＝＋＝b＋a， 所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0． 故⊥，即AF⊥DE． 方法二　如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE． 知识点二 利用向量解决平面几何求值问题 已知矩形ABCD，AB＝，AD＝1，E为DC上靠近D的三等分点． (1)求∠EAC的大小； (2)在边BC上是否存在点M，使得∠EAM＝？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由． 解：(1)如图，建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，C(，1)，E(，1)， 所以＝(，1)，＝(，1)， 所以·＝2， cos ∠EAC＝＝＝． ∵0<∠EAC<，∴∠EAC＝． (2)假设在边BC上存在点M，使得∠EAM＝，不妨设M(，y0)(0≤y0≤1)，则＝(，y0)． 因为＝(，1)，而∠EAM＝， 所以cos 〈，〉＝ ＝＝， 整理得y＋6y0－3＝0，解得y0＝－3＋2或y0＝－3－2．由于－3＋2∈[0，1]，－3－2∉[0，1]，因此在BC上存在点M，使得∠EAM＝，且此时BM＝－3＋2． 建立平面直角坐标系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题，然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系．如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系． 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b， 而|