10.1.3 古典概型（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

10．1．3　古典概型 课程标准 核心素养 结合具体实例理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 1．理解古典概型及其概率公式，会判断古典概型．(数学抽象) 2．会用列举法求古典概型的概率．(逻辑推理) 1．概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率．事件A的概率用P(A)表示． 2．古典概型 定义：一般地，若试验E有如下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 抛掷两枚硬币，有哪几种可能结果？每种结果出现的机会是否相等？上述试验中，任何两种结果是什么关系？ 答案：抛掷两枚硬币有4种可能的结果，是“正正”“反反”“正反”“反正”，它们都是随机事件，每个事件出现的机会是均等的，都为．由于任何两种结果都不可能同时发生，所以它们的关系是互斥关系． 下列关于古典概型的说法中正确的是(　　) ①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等． A．② B．①③ C．①② D．③ B　解析：根据古典概型的特征进行判断，①③正确，②中的事件不是只有一个样本点，不正确．故选B． 3．计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点的个数． 某同学从红、黄、蓝、白4个小球中，任取3个，所有结果有哪些？这个试验有哪些特点？ 答案：该试验的基本事件有4个：红黄蓝、红黄白、红蓝白、黄蓝白，而且每个基本事件发生的概率都是，是等可能的． 从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为(　　) A． B． C． D．1 C　解析：从甲、乙、丙三人中任选两人有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝． 知识点一 古典概型的判断 (1)下列概率模型中，是古典概型的为________． ①从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率； ②从1，2，3，…，10中任取一个整数，求取到1的概率； ③向一个正方形ABCD内任意投一点P，求点P刚好与点A重合的概率． (2)袋中有形状、大小相同的4个白球，2个黑球，3个红球，每球都有一个区别于其他球的编号，从中摸一个球． ①如果把每个球的编号看作一个样本点，建立概率模型，问该模型是否为古典概型？ ②若以球的颜色为样本点，以这些样本点建立概率模型，该模型是否为古典概型？ (1)②　解析：①样本点有无限个．②样本点有10个，等可能发生．③样本点有无限个． (2)解：①由于共有9个球，且每个球的编号各不相同，又由于所有球的大小、形状一样，从中摸一个球，是随机选取，因此每个球摸到的可能性相等．故属于古典概型． ②由于9个球共三种颜色，因此共有三个样本点，又由于所有球的大小、形状一样，因此每个球被摸到的可能性相等，而白球4个，故一次摸到白球的可能性为，同理摸到黑球的可能性为，摸到红球的可能性为＝．显然三个样本点出现的可能性不等，故不是古典概型． 判断古典概型的方法 (1)一个试验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性． (2)并不是所有的试验都是古典概型，下列三类试验都不是古典概型： ①样本点个数有限，但非等可能； ②样本点个数无限，但等可能； ③样本点个数无限，也不等可能． 下列试验中，是古典概型的有(　　) A．某人射击中靶或不中靶 B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个 C．四位同学用抽签法选一人参加会议 D．运动员投篮，观察是否投中 C　解析：对于A，某人射击中靶与不中靶的可能性不相等，不是古典概型，A错误；对于B，横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无数个，不是古典概型，B错误；对于C，符合古典概型的定义，是古典概型，C正确；对于D，运动员投篮，投中与没有投中的可能性不等，不是古典概型，D错误．故选C． 知识点二 古典概型的概率计算 袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．写出试验的样本空间，判断是否为古典概型并求至少摸到1个黑球的概率． 解：用树状图表示所有的结果为： 所以所有样本点是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10个，且在一次试验中，每个样本点出现的可能性相等，是古典概型． 记“至少摸出1个黑球”为事件A，则事件A包含的样本点为(a，b)