8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

第2课时　直线与平面垂直的性质 课程标准 核心素养 1．借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面垂直的性质定理，并加以证明． 2．会应用直线和平面垂直的性质定理证明一些简单的空间线面关系． 1．理解直线与平面垂直的性质定理，了解性质定理的证明过程．(数学抽象) 2．会用直线与平面垂直的性质定理解决有关的证明问题．(逻辑推理) 1．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b续表 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行，②作平行线 2．空间中两类距离 直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离 平面到平面的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离 同一个平面的两条垂线一定共面吗？ 答案：共面．由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面． (1)判断正误． ①垂直于同一条直线的两个平面平行．(　　√　　) ②到已知平面距离相等的两条直线平行．(　　×　　) 解析：②到已知平面距离相等的两条直线可能平行、相交或异面． (2)若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为(　　) ①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b． A．1 B．2 C．3 D．0 B　解析：由线面垂直的性质知①④正确．②中b可能满足b⊂α，故②错误；③中b可能与α相交(不垂直)，也可能平行，还可能在α内，故③不正确．故选B． 知识点一 线面垂直性质定理的理解 (1)已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是(　　) A．b∥α B．b⊂α C．b⊥α D．b与α相交 (2)△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　) A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定 (1)C　解析：由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b．故选C． (2)C　解析：∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A， ∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC， ∴l∥m．故选C． 线面垂直的性质定理的理解 (1)线面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)． (2)线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据． 已知a，b，c为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：①a⊥α，b∥β，且α∥β⇒a⊥b；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a⊥α，b⊥α，a∥c⇒b∥c；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β．其中不正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B　解析：①正确；②中b⊂α有可能成立，故②不正确；③正确；④中a⊂β有可能成立，故④不正确．故选B． 知识点二 线面垂直性质定理的应用 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN∥AD1． 证明：因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D． 又因为CD⊥平面ADD1A1，BC⊂平面ABC，所以CD⊥AD1． 因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC． 又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1． [探究]　本例中把条件“MN⊥平面A1DC”改为“M是AB的中点”，求证：MN⊥平面A1DC． 证明：连接A1M，CM，取CD中点P，连接NP，MP， 由正方体AC1，M，N为中点，则A1M＝CM， 所以MN⊥A1C．又P为CD中点，所以PN∥A1D． 因为CD⊥A1D，所以CD⊥PN． 又MP⊥CD，MP∩PN＝P，所以CD⊥平面MPN． 因为MN⊂平面MPN，所以MN⊥CD． 又A1C∩CD＝C，所以MN⊥平面A1DC． 1．线面垂直性质定理的作用 线面垂直的性质提供了证明线线平行的依据． 2．直线与平面垂直的其他性质 (1)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任意一条直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面． (4)垂直于同一条直线的两个平面平行． 如图，已知正方体A1C． (1)求证：A1C⊥B1D1； (2)M，N分别为B1D1与C1D上的点且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C． 证明：(1)如图，连接A1C1． 因为CC1⊥平面A1B1C1D，B1D1