8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的判定（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

8．6．2　直线与平面垂直 第1课时　直线与平面垂直的判定 课程标准 核心素养 1．借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并加以证明． 2．会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直． 1．理解并掌握直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理．(逻辑推理) 2．理解直线与平面所成角的含义，并知道其求解方法．(逻辑推理) 1．直线与平面垂直的定义 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 如图，直线l与平面α内的无数条直线a，b，c，…都垂直，直线l与平面α一定垂直吗？为什么？ 答案：不一定．当平面α内的无数条直线a，b，c，…都互相平行时，直线l在保证与直线a，b，c，…都垂直的条件下，与平面α可能垂直也可能斜交或平行． 2．直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 若把定理中的“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定垂直吗？ 答案：当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交或在平面内，但不一定垂直． (2021·河北保定高一下测试)下列条件能判断直线l与平面α垂直的是(　　) A．直线l与平面α内无数条直线垂直 B．直线l与平面α内两条直线垂直 C．直线l与平面α内两条相交直线垂直 D．直线l与平面α内两条平行直线垂直 答案：C 3．直线与平面所成的角 定义 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线 斜足 斜线和平面的交点A叫做斜足 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线叫做斜线在这个平面上的射影 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°, 取值范围 0°≤θ≤90° 若直线l与平面α所成的角是0°角，则必然有l∥α吗？ 答案：不一定．若直线l与平面α所成的角是0°角，则l∥α或l⊂α． 如图所示，若斜线段AB的长度是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　) A．60° B．45° C．30° D．120° A　解析：∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos ∠ABO＝，即∠ABO＝60°．故选A． 知识点一 直线与平面垂直的定义及应用 (1)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(　　) ①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． A．①③ B．② C．②④ D．①②④ (2)下列命题中，正确的序号是________． ①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条． (1)A　解析：因为三角形的任意两边是相交的，所以①可以保证线面垂直；因为梯形的上下两边是平行的，此时不相交，所以②不一定能保证线面垂直；因为圆的任意两条直径必相交，所以③可以保证线面垂直；若直线垂直于正六边形的两条对边，此时两条对边是平行的，所以④不一定能保证线面垂直．故选A． (2)④⑤　解析：当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．故填④⑤． 直线与平面垂直的定义的“双向”作用 (1)证明线面垂直：若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，该直线与已知平面垂直．即线线垂直⇒线面垂直． (2)证明线线垂直：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直．即线面垂直⇒线线垂直． 如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内(　　) A．不存在与l垂直的直线 B．存在一条与l垂直的直线 C．存在无数条与l垂直的直线 D．任一条直线都与l垂直 C　解