专题2.1两条直线的位置关系-【帮课堂】2022-2023学年七年级数学同步精品讲义（北师大版）

专题2.1 两条直线的位置关系 1. 理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识别“三线八角”； 2. 理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质； 3. 熟练掌握利用垂线性质与角平分线综合运算； 4．理解并掌握对顶角的概念及性质，会用对顶角的性质解决一些实际问题； 5．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题。 知识点01. 对顶角的概念和性质 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角 定义：若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 性质： 文字语言：对顶角相等。 符号语言：如图2，∵∠2和∠4是对顶角， ∴∠2=∠4 知识点02. 余角和补角的概念和性质 1.余角 定义：一般地，如果两个角的和等于90°，那么称这两个角互为余角，其中的一个角是另一个角的余角． 性质：文字语言：同角(等角)的余角相等． 符号语言：∵∠1+∠2=90°，∴∠1与∠2互余 ∵∠1与∠2互余，∴∠1+∠2=90°. 2.补角 定义：一般地，如果两个角的和等于180°，那么称这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角． 性质：文字语言:同角（等角）的补角相等． 符号语言：∵∠1+∠2=180°，∴∠1与∠2互补， ∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2=180°. 补充： ① 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 ② 余角和补角的判断是看两个角的和，与角的位置无关。 知识点03. 垂线 定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： ⇔ CD⊥AB． 画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 注意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 知识点04. 点到直线的距离 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 如上图所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 注意： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度 知识点01 对顶角的概念和性质 典例：下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角的定义判断。 【详解】解：A、∠1与∠2是三条直线相交所成，故A选项不符合题意； B、∠1与∠2是对顶角，故B选项符合题意； C、∠1与∠2的两边不是反向延长线，不是对顶角，故C选项不符合题意； D、∠1与∠2三条直线相交所成，不是对顶角，故D选项不符合题意． 故选：B． 【点拨】本题考查了对顶角的概念，正确掌握定义是解决问题的关键。 巩固练习 1.如图，直线AC，BD相交于点O，∠AOB＝48°，则∠COD的度数是（　　） A．42° B．48° C．96° D．132° 知识点02 余角和补角的概念和性质 典例：1.如果∠1和∠2互补，∠1比∠2的2倍少15°，则∠1＝　115　°． 【答案】115 【分析】根据题意可得∠1+∠2＝180°，∠1＝2∠2﹣15°，从而可求解． 【详解】解：∵∠1和∠2互补，∠1比∠2的2倍少15°， ∴∠1+∠2＝18