一元线性回归模型 学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

21届学案 选择性必修第三册A 2022-2023学年 承德县一中学案 一元线性回归模型 重点 1. 了解回归模型与函数模型的区别； 2. 尝试做散点图，求回归直线方程。 难点 1. 求回归直线方程，会用所学知识对实际问题进行回归分析； 2. 掌握回归分析的实际价值与基本思想。 考试要求 考试 · 题型 选择题、填空题 · 难度 简单题 核心知识点一：变量间的相关关系 1. 变量间的相关关系 （1）常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系。 （2）从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关。 核心知识点一：两个变量的线性相关关系 1. 回归直线： 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。求出的回归直线方程简称回归方程。 2. 回归直线方程的求法 设与个观测点（）最接近的直线方程为，其中，是待定系数。则 ，其中，。 相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析。 3. 回归直线几条结论： （1）回归直线过样本的中心点。 （2）b>0时，y与x正相关，散点图呈上升趋势；b<0时，y与x负相关，散点图呈下降趋势。 （3）相关系数： 当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关。 r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系。通常|r|大于0. 75时，认为两个变量有很强的线性相关性。 特别地：（1）只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义。否则，求出的回归直线方程毫无意义；（2）回归直线经过样本中心点。 类型一：相关关系的判断 例题1 （1）下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是（　　） （2）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（　　） A. r2<r4<0<r3<r1 B. r4<r2<0<r1<r3 C. r4<r2<0<r3<r1 D. r2<r4<0<r1<r3 【思路分析】（1）由散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，这两个变量之间具有线性相关关系；（2）根据 r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强进行判定。 【解析】（1）观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系。故选D。 （2）由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知r2<r4<0<r3<r1。故选A。 【总结提升】判断相关关系的两种方法 （1）散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系。如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系。 （2）相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强。 类型二：求线性回归方程 例题2 某校为了了解在校学生的支出情况，组织学生调查了该校2014年至2020年学生的人均月支出（单位：百元）的数据如下表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 人均月支出 2. 9 3. 3 3. 6 4. 4 4. 8 5. 2 5. 9 （1）求关于的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该校学生人均月支出的变化情况，并预测该校2025年的人均月支出。 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，。 【思路分析】利用公式，求出回归系数，，写出回归直线方程，用回归直线方程进行估计和预测。 【解析】 （1）由所给数据计算得 ， ， ， ， ， 。 所求回归方程为。 （2）由（1）知，， 故2014年至2020年该校学生人均月支出逐年增加， 平均每年增加0. 5百元。 将2025年的年份代号代入（1）中的回归方程， 得y=0. 5×12+2. 3=8. 3， 故预测该校2025年人均月支出为8. 3百元。 【总结提升】 1. 回归直线方程中系数的两种求法 （1）公式法：利用公式，求出回归系数，； （2）待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数。 2. 回归分析的两种策略 （1）利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值； （2）利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数。 类型三：非线性回归问题 例题3 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表： x 0.25 0.5 1 2