5.1.1变化率问题 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1 导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题 在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系 问题1 高台跳水运动员的速度 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 从物理角度，求出运动员在t=1就s 时的瞬时速度？ 无限趋近于0时，平均速度就无限趋近t=1时的瞬时速度 解： ∴ 运动员在t=1s时的瞬间速度为-5m/s. 瞬时速度----瞬时变化率 当 无限趋于0时的极限，记作 平均速度： 瞬时速度： 例1 一个小球从5m的高出自由下落，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为求t=1s时小球的瞬间速度. 解： ∴ t=1s时小球的瞬间速度为-9.8m/s. 问题2 抛物线的切线的斜率 如何求抛物线在点处的切线的斜率？ T P(x，x²) 无限趋于0时，直线的斜率就无限趋近于处的切线的斜率 解： 因此，抛物线在点处的切线的斜率k=2 切线斜率----瞬时变化率 点与点两点间的斜率 点处的斜率 例2 求曲线 y = f ( x )= x²+1 在点 P(1,2) 处的切线方程 . =2 解： ∴切线方程为y-2=2(x-1)即 y=2x. 1.一质点按规律s运动，则t=1时的瞬时速度为 . 6 练习 2一物体位移s和时间t的关系是s=2t-3t²，则物体的初速度是 . 2 思考 一物体的运动时间t（单位：s）与位移s（单位：m）关系为 ，求物体在t=1和t=5时的瞬时速度. 6m/s；12m/s =6 解： ，求物体在t=5时的瞬时速度. =12 思考 ∴物体在t=1和t=5时的瞬时速度分别为6m/s和12m/s. 新知探究 对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到。这时，的变化量为 的变化量为 我们把比值 即 叫做函数从变化到的平均变化率。 例3 函数y = 从x=1到x=2的平均变化率为（ ）. A.-1 B. C.-2 D.2 B 例4 函数y = 3x-x²在x=2处的增量为=0.1，则的值为（ ）. A.-0.11 B.-1.1 C.-2 D.0.29 B 探究 试比较正弦函数x=0和x= 附近的平均变化率哪一个大. 答：x=0时的平均变化率大 总结 瞬时速度 点处的斜率 函数平均变化率 $