5.1.1变化率问题（第2课时）教学设计-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 《5.1.1变化率问题》教学设计 第2课时 ( 教学目标 ) 1.通过求曲线上某点处切线斜率的过程,体会求切线斜率的一般方法. 2. 理解函数的平均变化率,瞬时变化率的概念. ( 教学重难点 ) 教学重点:理解曲线上某点处切线斜率的概念及算法 教学难点:理解函数的平均变化率,瞬时变化率的概念 ( 课前准备 ) PPT课件. ( 教学过程 ) 【新课导入】 问题1:阅读课本第62~64页,回答下列问题: (1)本节将要探究哪类问题? (2)本节探究的起点是什么?目标是什么? 师生活动:学生带着问题阅读课本,并在本节课中回答相应问题. 预设的答案: (1)本节课主要学习变化率问题:曲线上某点处切线斜率的问题. (2)总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念,在此基础上,要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤.平均变化率是个核心概念,它在整个高中数学中占有及其重要的地位,是研究瞬时变化率及其导数概念的基础.在这个过程中,注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透.一般曲线的切线的概念与学生熟悉的圆的切线的定义方式不同,学生不易理解,因此曲线的切线概念是本节的教学难点.通过本节的学习,学生的数学抽象和直观想象素养将得以提升. 设计意图:通过阅读读本,让学生明晰本阶段的学习目标,初步搭建学习内容的框架. 问题2:什么叫直线与圆相切? 师生活动:学生回顾并回答. 预设的答案:如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线C,如何定义它的切线呢? 设计意图:通过复习直线与圆相切,引出问题,进入新课. 【探究新知】 知识点1:曲线在某点处的切线 我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究. 问题3:如何定义抛物线在点处的切线? 师生活动:学生思考,尝试回答,教师讲解. 与研究瞬时速度类似,为了研究抛物线在点处的切线,我们通常在点的附近任取一点,考察抛物线的割线的变化情况. 如图,当点无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线. 知识点2:曲线在某点处的切线斜率 抛物线在点处的切线的斜率与割线的斜率有内在联系.记,则点的坐标是.于是,割线的斜率. 我们可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率,并且可以通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度,得到如下表格. …… …… 当无限趋近于0时,即无论从小于1的一边,还是从大于1的一边无限趋近于1时,割线的斜率都无限趋近于2. 事实上,由可以直接看出,当无限趋近于0时,无限趋近于2.我们把2叫做“当无限趋近于0时,的极限”,记为. 从几何图形上看,当横坐标间隔无限变小时,点P无限趋近于点,于是割线无限趋近于点处的切线.这时,割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率.因此,切线的斜率. 【巩固练习】 例1 已知函数,求该函数在点x=1处的切线斜率. 师生活动:学生分组讨论,每组派一代表回答,教师完善. 预设的答案:∵ ,∴斜率k=. 设计意图:通过求曲线上某点处切线斜率的问题,加深学生对曲线在某点处的切线和切线斜率的理解,发展学生逻辑推理,直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养. 方法总结: 求曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率 (1)计算, (2)计算,该值即为曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率. 例2已知函数f (x)=3x2+5,曲线y=f(x)在点((x0,f(x0))处的切线方程. 师生活动:学生分组讨论,每组派一代表回答,教师完善. 预设的答案:因为f (x)=3x2+5, 所以Δy= f (x0+Δx)-f (x0)=3(x0+Δx)2+5-(3x02+5) =3 x02+6 x0Δx+3(Δx)2+5-3 x02-5=6 x0Δx+3(Δx)2. 所以, 所以, 所以曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率为6 x0, 所以曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为, 即. 方法总结: 求曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程 (1)计算, (2)计算,即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率为. (3)写出切线方程. 设计意图:通过求曲线上某点处切线的方程问题,进一步加深学生对曲线在某点处的切线的理解,发展学生逻辑推理,直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养. 练习:教科书P64 练习1、2 设计意图:通过练习巩固本节所学知识,通过学生解决问题,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养. 【课堂总结】 1.板书设计: 5.1.1变化率问题 新知探究 巩固练习 知识点1:曲线在某点处的切线 例1 知识点2:曲线在某点处的切线斜率 例2 2.总结概括: (1)什