7.2 离散型随机变量及其分布列-2022-2023学年高二数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019选择性必修第三册）

7.2离散型随机变量及其分布列 目标素养 课程目标 核心素养 1.理解随机变量的意义,了解随机变量与函数的区别; 2.掌握离散型随机变量的概念,能够写出随机变量的取值以及随机试验的结果. 3.会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布)． 1.数学抽象：离散型随机变量的概念 2.逻辑推理：离散型随机变量与函数的关系 3.数学运算：求离散型随机变量的分布列． 4.数学建模：两点分布的概念及表示 概念梳理 1．随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量； ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z。 (2)离散型随机变量。 ①定义：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量。 ②离散型随机变量的特征： a．可用数值表示； b．试验之前可以判断其出现的所有值； c．在试验之前不能确定取何值； d．试验结果能一一列出。 2．离散型随机变量的分布列及其性质 (1)离散型随机变量的分布列。 ①定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)为X的概率分布列，简称分布列。 ②表示：与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示，还可以用图形表示。 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn ③性质：pi≥0，i＝1,2，…，n； 　 p1＋p2＋…＋pn＝1。 (2)两点分布。 X 0 1 P 1－p p 若随机变量X的分布列为如表所示的形式，则称X服从两点分布或0－1分布。 【概念辨析】 1.并不是所有的随机变量的取值都能一一列举。 2. 随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集。随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，这使我们可以比较方便地表示一些随机事件。 3. 离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的。其概率之和是1，不能小于1。 正误辨析 判断下列说法是是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) 1. 抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(　√　) 【解析】正确，符合随机变量的概念． 2. 离散型随机变量取值一定是有限个．(　×　) 【解析】错误，离散型随机变量取值可以是无限个，但要能一一列举． 3. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(　√　) 【解析】正确，离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的． 初试身手 1. 下列表述中，随机变量X不是离散型随机变量的是(　　) A．某座大桥一天经过的车辆数X B．某无线电寻呼台一天内收到寻呼次数X C．一天之内的温度X D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分 【解析】根据离散型随机变量的定义，判断一个随机变量是否是离散型随机变量，就是看这一变量的所有取值是否可以一一列出。A，B，D中的X可能取的值，可以一一列举出来，而C中的X可以取某一区间内的一切值，属于连续型的。故选C。 2.下列变量中，是离散型随机变量的是(　　) A．到2020年5月1日止，我国被确诊的患新型冠状病毒肺炎的人数 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，可能投中的次数 【解析】ABC错误，D正确。故选D. 3. 已知X，Y均为离散型随机变量，且X＝2Y，若X的所有可能取值为0,2,4，则Y的所有可能取值为________。 【解析】由题意Y＝X且X∈{0,2,4}，得Y∈{0,1,2}。 4. 若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2。令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________。 【解析】因为Y＝3X－2，所以当Y＝－2时，X＝0，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8。 5. 某小组共10人，利用假期参加义工活动。已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4。现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会。 (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列。 【解析】(1)由题意得，P(A)＝＝。 所以事件A发生的概率为。 (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2。 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝。 X 0 1 2 P