7.1.2 全概率公式-2022-2023学年高二数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019选择性必修第三册）

7.1.2全概率公式 目标素养 课程目标 核心素养 1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程; 2.理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算概率; 3.了解贝叶斯公式以及公式的简单应用. 1.数学抽象：全概率公式 2.逻辑推理：从特殊到一般的思想方法 3.数学运算：运用全概率公式求事件概率 4.数学建模：将相关问题转化为对应概率模型 概念梳理 1．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)，则称此公式为全概率公式，P(Ai)称为先验概率，P(B|Ai)称为后验概率。 *2.贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有 P(Ai＝ ＝，i＝1，2，…，n。 【概念辨析】 1. 全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋＋…＋P(An)P(B|An)。 2. 全概率公式的几何意义：如图，发生的概率与P(BAi)(i＝1,2，…，n)有关，且B发生的概率等于所有这些概率的和，即P(B)＝(BAi)＝(Ai)P(B|Ai)。在实际问题中，当某一事件的概率难以求得时，可转化为在一系列条件下发生的概率的和。 3. 贝叶斯公式的实际意义是在事件B已经发生的条件下，贝叶斯公式可用来寻找导致B发生的各种“原因”Ai发生的概率。即贝叶斯公式可以看成要根据事件发生的结果找原因，看看这一结果由各种可能原因导致的概率是多少。正误辨析 判断下列说法是是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) 1. P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|).(　√　) 【解析】正确，符合全概率公式． 2. 全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为i＝Ω.(　×　) 【解析】错误，需满足的条件为AiAj＝∅，i＝Ω，且P(Ai)＞0. 3. 全概率公式P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)中的事件B，只能是一个单一的事件.( × ) 【解析】正确，事件B⊆Ω的任意事件. 初试身手 1. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是(　　) A. B. C. D. 【解析】设Ai＝“任意取出一个零件是第i台机床生产的”，i＝1,2，B＝“任意取出一个零件是合格品”。则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，所以P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝(1－0.03)＋(1－0.02)＝＝。故选C。 2. 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%。又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是(　　) A．0.002 B．0.04 C．0.013 D．0.003 【解析】设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂生产的产品”，i＝1,2,3，则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01。所以P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013。故选C。 3. 甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为________。 【解析】设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi＝“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i＝0,1,2。由全概率公式P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＝×＋×＋×＝。 4. 一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应，某地区此种病患者占人口数的0.5%，则： (1)某人化验结果为阳性的概率为________； (2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为________。 【解析】A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种病”。 (1)P(A)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%。 (2)P(B|A)＝＝＝。 5. 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质