6.2.3 组合-2022-2023学年高二数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.3　组合 目标素养 课程目标 核心素养 1. 理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别. 3.能够运用组合概念及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力. 1.数学抽象：组合的概念 2.数学运算：组合的简单例举 3.数学建模：运用组合解决计数问题 概念梳理 1．组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 2．排列与组合的相同点和不同点 名称 排列 组合 相同点 都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复 不同点 1.排列与顺序有关； 2.两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同 1.组合与顺序无关； 2.两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同 【概念辨析】 1.组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的。 2.无序性是组合的特点，取出的m个元素是不讲顺序的，也就是说元素没有位置的要求。 3.两个组合只要元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的。只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。 4. 组合是是无放回抽取。 正误辨析 判断下列说法是是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) 1. 从3，5，7，11中任取两个数相除属于组合问题．(　×　) 【解析】错误，由于两个数相除与顺序有关，所以是排列问题。 2. 区别组合与排列的关键是看问题元素是否与顺序有关．(　√　) 【解析】正确，组合与排列不同之处是组合选出的元素没有顺序而排列有顺序。 3. “10人相互通一次电话，共通多少次电话”是组合问题. (　√　) 【解析】正确，没有顺序，是组合问题。 4. 从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的组合有6个. (　×　) 【解析】错误，从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的组合有{a，b}，{a，c}，{b，c}3个。 初试身手 1. 从10个不同的数中任取2个数，求其和、差、积、商。这四个问题中，属于组合的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响，所以属于组合的有2个。故选B。 2. 集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B⊆A，且a1∈B，则集合B的可能情形有________个。 【解析】集合B可能有以下8种情况：{a1}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，a4}，{a1，a2，a3}，{a1，a2，a4}，{a1，a3，a4}，{a1，a2，a3，a4}。故集合的可能情况有8个。 3. (多选)下列问题中属于组合问题的是(　　) A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法 B．有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法 C．某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种 D．从0～9的自然数中选3个数组成没有重复数字的三位数 【解析】A，D与顺序有关，是排列问题；B，C均与顺序无关，是组合问题。故选BC。 4. 从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素。 (1)相加可得多少个不同的和？ (2)相除可得多少个不同的商？ 【解析】(1)3＋5＝8,3＋7＝10,3＋9＝12,3＋11＝14,5＋7＝12,5＋9＝14,5＋11＝16,7＋9＝16,7＋11＝18,9＋11＝20，共有7个不同的和。 (2)A＝20个不同的商。 题型讲解 探究（一）组合的概念 【典例1】判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？ (2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本； (3)从7本不同的书中取出5本给某个学生． 【解析】(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题． (2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题． (3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题． 【补充训练1】下列四个问题中，属于组合问题的是(　　) A．从3个不同小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人1张 【解析】A，B，D与顺序有关，是排列问题，而C与顺序无关，是组合问题，故选C. 【补充训练2】下列问题中是组合问题的是 （填序号） ①10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 ②平面上有2 022个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成